Question

Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом 60°. Знайдіть висоту піраміди, якщо її основою є трикутник АВС, у якому АВ=10√2 см, ∠С=135°

Answer 1

Звучить як цікава задача з геометрії! Ось як можна розв'язати:

По-перше, варто з'ясувати, яким чином бічні ребра піраміди співвідносяться зі сторонами основи та висотою. У трикутнику \(ABC\) знаємо, що \(AB = 10\sqrt{2}\, \text{см}\), а кут при вершині \(C\) дорівнює \(135^\circ\).

Враховуючи, що всі бічні ребра нахилені до площини основи під кутом \(60^\circ\), можемо використати геометричні зв'язки для вирішення завдання.

1. Знайдемо довжину бічного ребра трикутника:

Використовуючи косинус правильного трикутника, можна знайти довжину бічного ребра \(BC\) або \(AC\) у трикутнику \(ABC\). Формула косинусів виглядає так:

\[ \cos(\text{кут}) = \frac{\text{протилежна сторона}}{\text{гіпотенуза}} \]

Таким чином, \( BC = 10\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ) = 10\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 10 \, \text{см}\).

2. Знайдемо висоту піраміди:

Оскільки бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом \(60^\circ\), можемо вважати, що вони утворюють рівносторонній трикутник з основою піраміди.

Висота піраміди з центру основи перпендикулярна до площини основи і ділить рівносторонній трикутник на два рівні трикутники, кожен з яких є прямокутним зі стороною \(BC = 10\, \text{см}\) та висотою \(h\).

Застосуємо трикутник \(ABC\), щоб знайти висоту \(h\):

\[ \tan(45^\circ) = \frac{\text{протилежна сторона}}{\text{прилегла сторона}} \]

\[ \tan(45^\circ) = \frac{h}{\frac{1}{2} \cdot BC} \]

\[ h = \frac{BC \cdot \tan(45^\circ)}{2} \]

Після підстановки значень:

\[ h = \frac{10 \cdot \tan(45^\circ)}{2} \]

\[ h = \frac{10 \cdot 1}{2} = 5\, \text{см} \]

Отже, висота піраміди дорівнює \(5\, \text{см}\).