Question

Основою піраміди є ромб, гострий кут = а (альфа) , усі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом В (бетта). Знайдіть площу діагональних перерізів піраміди, якщо її висота = h

Answer 1

Если задана пирамида SABCD, сделаем вертикальное сечение по апофеме SK.
Получим треугольник SOK, где SO = h. ОК - это перпендикуляр из точки О на сторону АВ  ОК = h / tg β.
Тогда половины диагоналей основы пирамиды (ромба) равны:
AO = OK / cos(α/2) = h / (tg β*cos(α/2)).
BO = OK / sin(α/2) = h / ( tg β*sin(α/2)).
Отсюда площади диагональных сечений равны:
S(ASC) = AO*h = h² / (tg β*cos(α/2)),
S(BSD) = BO*h = h² / ( tg β*sin(α/2)).

Answer 2

Для обчислення площі діагональних перерізів піраміди з ромбовою основою, потрібно враховувати ромб на основі та чотири трикутники з вершини піраміди до кожного кута ромбу. Спершу давайте розглянемо площу ромбової основи.

Площа ромба обчислюється за формулою:

S_основи = a^2

Де "a" - довжина сторони ромба.

Тепер давайте розглянемо площу кожного з чотирьох трикутників. Вони всі мають однаковий кут нахилу "β" і висоту "h". Площу кожного трикутника можна знайти за формулою:

S_трикутника = 0.5 * h * a

Де "h" - висота трикутника, "a" - довжина сторони ромба.

Тепер розглянемо площу діагональних перерізів піраміди. Ці діагональні перерізи поділяють піраміду на чотири рівних трикутника та чотири рівних ромба. Площа кожного трикутника в діагональному перерізі дорівнює площі трикутника, який ми розглядали вище.

Площа кожного ромба може бути обчислена, як площа ромба на основі помножена на сінус кута нахилу "β". Тобто:

S_ромба = S_основи * sin(β)

Отже, площа одного діагонального перерізу піраміди дорівнює сумі площ ромба та чотирьох трикутників:

S_діагонального_перерізу = 4 * (S_ромба + 4 * S_трикутника)

Підставивши значення S_ромба та S_трикутника, отримаємо:

S_діагонального_перерізу = 4 * (a^2 * sin(β) + 4 * 0.5 * h * a)

Спрости це вираз і вирахуйте площу діагональних перерізів піраміди з ромбовою основою.