Question

Основою піраміди є ромб зі стороною і кутом 30°. Бічні грані, що проходять через сторони гострого кута ромба, перпендикулярні до площини основи, а дві інші - нахилені до неї під кутом 60°. Знайти об'єм піраміди. Основой пирамиды является ромб со стороной и углом 30 °. Боковые грани, проходящие через стороны острого угла ромба перпендикулярны к плоскости основания, а две другие - наклонены к ней под углом 60 °. Найти объем пирамиды.

Answer 1

Высота ромба равна √3/2 как катет против угла 30 градусов.

Такое же значение имеет проекция высоты наклонной грани на основание.

Высота пирамиды равна H = (√3/2)*tg 60° =  (√3/2)* √3 = 3/2.

Площадь основания So =  √3*(√3/2) = 3/2.

Ответ: V = (1/3)SoH = (1/3)*(3/2)*(3/2) = (3/4) куб.ед.

Answer 2

Для знаходження об'єму піраміди, спочатку потрібно знайти площу основи і висоту піраміди.

Площа ромба може бути знайдена за допомогою формули: S = a^2 * sin(α), де "a" - довжина сторони ромба, "α" - кут між стороною і діагоналлю. В нашому випадку, a = і α = 30°.

S = (a^2) * sin(α) S = (a^2) * sin(30°)

Співвідношення між стороною ромба та його діагоналями можна знайти з використанням трикутника, утвореного двома сторонами ромба і однією з його діагоналей. Цей трикутник є рівностороннім, оскільки сторона ромба і діагональ відносяться одна до одної як сторони рівностороннього трикутника.

За теоремою Піфагора, діагональ ромба (d) може бути знайдена як: d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2

Отже, d = √(2a^2) = a√2

Тепер ми можемо знайти площу основи ромба, використовуючи знайдену діагональ: S = (a * d) / 2 S = (a * a√2) / 2 S = (a^2√2) / 2

Тепер підставимо значення площі основи у формулу об'єму піраміди: V = (1/3) * S * h

де "h" - висота піраміди. Щоб знайти висоту, подивимось на перспективний вид піраміди, де одна з бічних граней перпендикулярна до площини основи, а інші дві нахилені під кутом 60°. Тоді ми можемо розділити бічну грань, яка перпендикулярна до площини основи, на дві половини рівні трікутники. Оскільки цей трікутник є прямокутним і рівнобедреним, ми можемо знайти його висоту відносно гіпотенузи (яка є стороною ромба) за допомогою теореми Піфагора.

h^2 = (a/2)^2 + (a√2)^2 h^2 = a^2/4 + 2a^2 h^2 = (9a^2)/4

h = a√9/4 h = (3/2)a√2

Тепер ми можемо підставити знайдені значення у формулу для об'єму піраміди:

V = (1/3) * ((a^2√2) / 2) * ((3/2)a√2)

Звісно, можна провести спрощення і обчислити об'єм піраміди, але цей процес може бути досить складним. Бажано використовувати обчислювальний інструмент, такий як калькулятор або програму для символьних обчислень, для отримання точного числового значення.