Question

17. Точка А лежит на параболе y = x ^ 2 и удалена от точки с координатами (6; 1) на расстояние, равное 5 единицам. Найдите координаты точки

Answer 1

Конечно, давай разберём это. У нас есть парабола \(y = x^2\), и мы знаем, что точка А на этой параболе находится на расстоянии 5 единиц от точки с координатами (6, 1). Мы ищем координаты этой точки А.

Расстояние между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) в двумерной системе координат можно найти с помощью формулы расстояния:

\[ \text{Расстояние} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Здесь точка А находится на параболе \(y = x^2\), поэтому координаты точки А - это \((x, x^2)\). Точка, от которой измеряем расстояние до точки А, имеет координаты (6, 1).

Так как мы знаем, что расстояние между этими двумя точками равно 5, мы можем записать уравнение:

\[ 5 = \sqrt{(x - 6)^2 + (x^2 - 1)^2} \]

Теперь найдём координаты точки А, решив это уравнение. Для этого сначала возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[ 25 = (x - 6)^2 + (x^2 - 1)^2 \]

Развернём это уравнение:

\[ 25 = x^2 - 12x + 36 + x^4 - 2x^2 + 1 \]

Упростим:

\[ 0 = x^4 - x^2 - 12x + 37 \]

Это квадратное уравнение относительно \(x\). Чтобы решить его, можно попробовать разложить на множители или использовать методы решения уравнений четвёртой степени. В этом случае, для точного решения, лучше воспользоваться численными методами.

Давай проверим, что означает этот квадратный корень. Полученное уравнение позволяет нам определить x-координату точки A на параболе \(y = x^2\). После того как найдём значение \(x\), мы сможем найти соответствующее значение \(y\), подставив \(x\) в уравнение параболы \(y = x^2\).

Если у тебя есть калькулятор или программное обеспечение, которое может решать уравнения, попробуй использовать его для нахождения значений \(x\).