Question

Найдите промежутки возрастания и убывания функций с помощью производной: 1) y=x^2-10x+4 2) y=x^2+8x+3 3)y=x^3-2x^2+x+4

Answer 1

Ответ:

функция возрастает на промежутке, на котором производная положительна.

1) y' = -1/2 < 0 , ⇒ данная функция убывающая на всей области определения.

2) y' = 3x² -x

3x² - x = 0

x= 0 и х = 3

-∞ 0 3 +∞

+ - + это знаки производной

возрастает убывает возрастает

3)y' = 3x² -6

3x² - 6 = 0

x² = 2

x = +-√2

-∞ -√2 √2 +∞

+ - + это знаки производной

возрастает убывает возрастает

4) y' = 4x³ + 4

4x³ + 4 = 0

x³ = -1

x = -1

-∞ -1 +∞

- + это знаки производной

убывание возрастание

Answer 2

1) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции y = x^2-10x+4, найдем производную этой функции. Для этого применим правило дифференцирования суммы, разности и произведения функций.

y' = (2x - 10)

Далее приравняем производную к нулю и найдем точки экстремума: 2x - 10 = 0 2x = 10 x = 5

Теперь рассмотрим знак производной на разных интервалах числовой прямой:

При x < 5: y' < 0, следовательно, функция убывает на этом промежутке. При x > 5: y' > 0, следовательно, функция возрастает на этом промежутке.

Таким образом, функция y = x^2-10x+4 возрастает при x > 5 и убывает при x < 5.

2) Для функции y = x^2+8x+3 найдем производную:

y' = (2x + 8)

Приравняем производную к нулю и найдем точки экстремума: 2x + 8 = 0 2x = -8 x = -4

Аналогично рассмотрим знак производной на разных интервалах числовой прямой:

При x < -4: y' < 0, следовательно, функция убывает на этом промежутке. При x > -4: y' > 0, следовательно, функция возрастает на этом промежутке.

Таким образом, функция y = x^2+8x+3 возрастает при x > -4 и убывает при x < -4.

3) Для функции y = x^3-2x^2+x+4 найдем производную:

y' = (3x^2 - 4x + 1)

Приравняем производную к нулю и найдем точки экстремума: 3x^2 - 4x + 1 = 0

Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся дискриминантом: D = (-4)^2 - 4 * 3 * 1 = 16 - 12 = 4 D > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

x = (-(-4) ± √D) / (2 * 3) x = (4 ± 2) / 6 x1 = 6/6 = 1 x2 = 2/6 = 1/3

Аналогично рассмотрим знак производной на разных интервалах числовой прямой:

При x < 1/3: y' < 0, следовательно, функция убывает на этом промежутке. При 1/3 < x < 1: y' > 0, следовательно, функция возрастает на этом промежутке. При x > 1: y' < 0, следовательно, функция убывает на этом промежутке.

Таким образом, функция y = x^3-2x^2+x+4 возрастает при 1/3 < x < 1 и убывает при x < 1/3 и при x > 1.