Question

Визначити тип кривої та звести до канонічного вигляду рівняння. Визначити всі параметри даної кривої та побудувати схематичний малюнок. х2 - 2у2 - 8x - 4y + 22 = 0​

Answer 1

Для визначення типу кривої та зведення до канонічного вигляду рівняння, давайте розглянемо задане рівняння:

\[ x^2 - 2y^2 - 8x - 4y + 22 = 0 \]

Спочатку перегрупуємо його члени:

\[ x^2 - 8x - 2y^2 - 4y + 22 = 0 \]

Тепер давайте спробуємо використовувати метод завершення квадрата для зведення до канонічного вигляду. Для цього згрупуємо члени, що містять \( x \) та \( y \) окремо:

\[ (x^2 - 8x) - 2(y^2 + 2y) + 22 = 0 \]

Тепер додамо і віднімемо ті числа, які дозволять нам завершити квадрат для обох груп:

\[ (x^2 - 8x + 16) - 16 - 2(y^2 + 2y + 1) + 22 = 0 \]

Спростимо отримане вираження:

\[ (x - 4)^2 - 2(y + 1)^2 + 22 - 16 - 2 = 0 \]

Зведемо до канонічного вигляду:

\[ (x - 4)^2 - 2(y + 1)^2 + 4 = 0 \]

Тепер ми маємо рівняння канонічного вигляду, і ми можемо визначити тип кривої.

У канонічному вигляді видно, що маємо гіперболу, оскільки коефіцієнт при квадраті \( x \) має протилежний знак від коефіцієнта при квадраті \( y \). Також зауважимо, що у нашому випадку \( A = 1 \), \( B = -2 \), і \( C = 4 \).

Схематичний малюнок гіперболи можна побудувати на координатній площині, використовуючи центр гіперболи та напрямки осей. В даному випадку, центр гіперболи - точка (4, -1). Ось як виглядає схематичний малюнок гіперболи:

                      F1             F2
                       |             |
                       |             |
                       |             |
                       |             |
-----------------------|-------------|-----------------
                       |(4, -1)       |
                       |             |
                       |             |
                       |             |
                       |             |

Гіпербола орієнтована вертикально, оскільки вісь \( y \) має більший коефіцієнт при квадраті від вісі \( x \).