Question

Звести рівняння кривої другого порядку до канонічного вигляду. Визначити тип кривої, знайти її основні характеристики та побудувати криву. 1. x+4y²+2х-32y+64=0. 2. х²-4²+4х=0. 3. у²-2х-3у-1=0.

Answer 1

Ответ:1. x + 4y^2 + 2x - 32y + 64 = 0

Розкриваємо дужки:

3x + 4(y - 4)^2 = 0

Переносимо одночленики без x на праву сторону:

4(y - 4)^2 = -3x

Переносимо константу на праву сторону:

(y - 4)^2 = (-3/4)x

Отримали канонічний вигляд рівняння кривої другого порядку. Це парабола, що відкривається вгору і зсунута вниз на 4 одиниці. Вершина параболи знаходиться в точці (0, 4), вісь симетрії - паралельна осі OY.

2. x^2 - 4y^2 + 4x = 0

Переносимо одночленики без x на праву сторону:

x^2 + 4x = 4y^2

Ділимо обидві частини на 4:

(x^2 + 4x)/4 = y^2

Дописуємо до обох частин рівняння по 4:

(x^2 + 4x + 4)/4 = y^2 + 1

(x + 2)^2/4 - y^2 = -1

Отримали канонічний вигляд рівняння кривої другого порядку. Це гіпербола з центром в точці (-2, 0), віссю симетрії - паралельна осі OX.

3. y^2 - 2x - 3y - 1 = 0

Переносимо одночленики з x на праву сторону:

y^2 - 3y = 2x + 1

Записуємо ліву частину як квадратичний тричлен з y:

(y - 3/2)^2 - 9/4 = 2x + 1

(y - 3/2)^2 = 2x + 13/4

Отримали канонічний вигляд рівняння кривої другого порядку. Це парабола, що відкривається вправо і зсунута вгору на 3/2 одиниці. Вершина параболи знаходиться в точці (13/8, 3/2), вісь симетрії - паралельна осі OY.

Побудувати графіки кривих можна, використовуючи знання про вигляд кривих, їх характеристики та перетини з осями координат. Наприклад, для побудови гіперболи можна взяти точки на осі X, обчислити відповідні значення y, застосувати формули для обчислення координат точок на гіперболі та з'єднати точки гладкою лінією.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Щоб звести рівняння кривої другого порядку до канонічного вигляду, необхідно намагатися перетворити його таким чином, щоб отримати окремі доданки для квадратів змінних. Давайте розглянемо кожне рівняння окремо:

1. x + 4y² + 2x - 32y + 64 = 0

Візьмемо окремо x та y терміни і спробуємо згрупувати їх:

(x + 2x) + (4y² - 32y) + 64 = 0

3x + 4y² - 32y + 64 = 0

Тепер розглянемо y-терміни і спробуємо згрупувати їх:

4y² - 32y = 4(y² - 8y)

Тепер ми маємо:

3x + 4(y² - 8y) + 64 = 0

3x + 4(y² - 8y + 16) - 4(16) + 64 = 0

3x + 4(y - 4)² - 4(16) + 64 = 0

3x + 4(y - 4)² - 64 + 64 = 0

3x + 4(y - 4)² = 0

Отже, рівняння кривої другого порядку у канонічному вигляді має вигляд:

3x + 4(y - 4)² = 0

Тип кривої: пара­бола.

Її основні характеристики: - Вісь симетрії: y = 4. - Вершина: (0, 4). - Фокус: немає фокусу, оскільки це пара­бола, яка відкривається вниз. - Директриса: немає директриси, оскільки це пара­бола.

2. x² - 4y² + 4x = 0

Відділимо x-терміни та y-терміни:

x² + 4x - 4y² = 0

Замінимо x² + 4x на (x + 2)² - 4:

(x + 2)² - 4 - 4y² = 0

(x + 2)² - 4y² - 4 = 0

Тепер ми можемо згрупувати y-терміни:

(x + 2)² - 4(y² + 1) = 0

(x + 2)² - 4(y² + 1/4) = 0

(x + 2)² - 4(y + 1/2)² = 0

Отже, рівняння кривої другого порядку у канонічному вигляді має вигляд:

(x + 2)² - 4(y + 1/2)² = 0

Тип кривої: гіпербола.

Її основні характеристики: - Вісі симетрії: x = -2 та y = -1/2. - Центр: (-2, -1/2). - Фокуси: немає фокусів, оскільки це гіпербола. - Директриси: немає директрис, оскільки це гіпербола.

3. y² - 2x - 3y - 1 = 0

Поділимо рівняння на -1, щоб перенести доданки зі змінною наліво:

y² - 3y = 2x + 1

Тепер розглянемо y-терміни:

y² - 3y = y² - 3y + 9/4 - 9/4

y² - 3y + 9/4 = (y - 3/2)² - 9/4

Тепер ми можемо згрупувати x-терміни:

(y - 3/2)² - 9/4 = 2x + 1

(y - 3/2)² = 2x + 1 + 9/4

(y - 3/2)² = 2x + 13/4

Отже, рівняння кривої другого порядку у канонічному вигляді має вигляд:

(y - 3/2)² = 2x + 13/4

Тип кривої: парабола.

Її основні характеристики: - Вісь симетрії: x = 0. - Вершина: (13/4, 3/2). - Фокус: немає фокусу, оскільки це парабола. - Директриса: немає директриси, оскільки це парабола.

Тепер ви можете побудувати ці криві, використовуючи отримані характеристики та інші відомі точки.