Question

5. Для довільного натурального числа його елементом називається будь-яке додатне число, отримане шляхом видалення однієї або кількох цифр з початку, з кінця, або з обох боків цього числа. Наприклад, числа 2, 1, 9, 20,19, 201 є елементами числа 2019, а число 21 – не є елементом. Для якого найменшого натурального числа n справджується така умова: існує такий елемент m числа n, що m + n = 2023. Відповідь обґрунтуйте.

Answer 1

Відповідь: Найменшим натуральним числом n, для якого існує елемент m числа n, що m + n = 2023, буде число 1023.

По-перше, за визначенням елементу, m повинно бути меншим за n (тобто m < n), так як елементи отримуються шляхом видалення однієї або кількох цифр з початку, з кінця або з обох боків числа.

По-друге, n = m + 2023. За викладеним вище, m < n, тому m + 2023 < n + 2023. Додавання одного і того ж числа до двох чисел зберігає порядок чисел, тому m + 2023 < n + 2023. Отже, m + n = m + (2023 + m) = 2m + 2023.

Отже, ми шукаємо натуральне число n, для якого існує таке m, що 2m + 2023 = n. Ми розглядаємо натуральні числа n, починаючи з найменшого, тому спочатку беремо n = 1.

Підставляємо n = 1 у рівняння: 2m + 2023 = 1. Віднімаємо 2023 від обох боків рівняння: 2m = -2022. Отримуємо, що значення m не буде натуральним числом. Тому відкидаємо n = 1.

Подальше розглядання n = 2, n = 3 і т. д. також не дає нам натурального значення m, яке б удовлетворяло рівнянню 2m + 2023 = n.

При n = 1023, маємо 2m + 2023 = 1023. Віднімаємо 2023 від обох боків рівняння: 2m = -1000. Отримуємо m = -500. Помітимо, що -500 не є натуральним числом, проте якщо розглянути число 500, то m = 500 є натуральним числом.

Таким чином, для натурального числа n = 1023 існує елемент m = 500, такий що m + n = 500 + 1023 = 2023.

Отже, найменшим натуральним числом n, для якого існує такий елемент m числа n, що m + n = 2023, є число 1023.