Question

Найдите все простые р такие, что числа (р-1)(р+1)+5 и (р-2)(р+2)+10 являются простыми одновременно (в ответ запишите сумму всех возможных значений).​

Answer 1

Для числа (р-1)(р+1)+5 быть простым, (р-1)(р+1) должно быть четным, так как если (р-1)(р+1) было нечетным, то при добавлении 5 оно станет четным, а простыми могут быть только нечетные числа.

Значит, или (р-1) четное и (р+1) четное, или (р-1) нечетное и (р+1) нечетное.

1) Пусть (р-1) и (р+1) четные числа. Тогда (р-1) и (р+1) делятся на 2, а значит, числа (р-1)(р+1) и (р-2)(р+2) делятся на 4. Прибавив 5 и 10 соответственно, получим числа, которые делятся на 4, а значит, не могут быть простыми одновременно. Таким образом, эта ситуация не подходит.

2) Пусть (р-1) и (р+1) нечетные числа. Тогда (р-1) и (р+1) взаимно просты со 2, а значит, числа (р-1)(р+1) и (р-2)(р+2) также взаимно просты со 2. Прибавив 5 и 10 соответственно, получим числа, которые не делятся на 2. В этом случае, чтобы числа (р-1)(р+1)+5 и (р-2)(р+2)+10 были простыми одновременно, они должны быть простыми не только в самих себе, но и друг к другу.

Осталось проверить, при каких значениях р числа (р-1)(р+1)+5 и (р-2)(р+2)+10 будут простыми одновременно. Выразим числа в виде:

(р-1)(р+1)+5 = р^2 + р - р - 1 + 5 = р^2 + 4 (р-2)(р+2)+10 = р^2 + 2р - 2р - 4 + 10 = р^2 + 6

То есть, в данном случае вопрос сводится к проверке того, какие значения р^2 + 4 и р^2 + 6 могут быть простыми одновременно.

Чтобы оба числа были простыми, ни одно из них не должно иметь простых делителей (кроме 1 и самого числа) из множества простых чисел, начиная с 2 и заканчивая корнем из самого числа. То есть, для каждого числа простых делителей можно постепенно проверить условие простоты.

Исследуя значения р^2 + 4 и р^2 + 6 для различных значений р, можно получить следующие результаты:

- При р=2 получаем: 2^2 + 4 = 8 (не простое) и 2^2 + 6 = 10 (простое) - При р=3 получаем: 3^2 + 4 = 13 (простое) и 3^2 + 6 = 15 (не простое) - При р=4 получаем: 4^2 + 4 = 20 (не простое) и 4^2 + 6 = 22 (простое) - И так далее...

Таким образом, возможные значения р, при которых числа (р-1)(р+1)+5 и (р-2)(р+2)+10 являются простыми одновременно, равны 2 и 4. Их сумма будет 2 + 4 = 6.