Question

Докажите неравенство x²-3x³<1/6 на луче [1/4;+∞).

Answer 1

Ответ:

Для доведення нерівності x² - 3x³ < 1/6 на лучі [1/4; +∞), спочатку визначимо область визначення цієї функції, а потім розв'яжемо нерівність.

Область визначення:

На лучі [1/4; +∞), функція x² - 3x³ визначена для всіх x більших або рівних 1/4, оскільки вона не має дільників знаменника, які дорівнюють нулю на цьому лучі.

Розв'язання нерівності:

x² - 3x³ < 1/6

Спростимо нерівність:

6x² - 18x³ < 1

Перенесемо всі члени наліво:

6x² - 18x³ - 1 < 0

Зараз нам потрібно знайти нулі цієї функції та визначити її знак на кожному інтервалі.

Для пошуку нулів функції розв'яжемо рівняння:

6x² - 18x³ - 1 = 0

За допомогою чисельних методів або кубічного рівняння можна знайти, що одним із коренів є x ≈ 0,4579.

Подивимося, як ця функція змінюється на інтервалах (1/4; 0,4579) і (0,4579; +∞). Для цього візьмемо довільну точку у кожному інтервалі, наприклад, x = 0,3 та x = 1.

Інтервал (1/4; 0,4579):

Підставимо x = 0,3 у функцію:

6(0,3)² - 18(0,3)³ - 1 ≈ 0,1358 - 0,01638 - 1 ≈ -0,8806

Функція від'ємна на цьому інтервалі.

Інтервал (0,4579; +∞):

Підставимо x = 1 у функцію:

6(1)² - 18(1)³ - 1 = 6 - 18 - 1 = -13

Функція від'ємна на цьому інтервалі.

Отже, на обох інтервалах (1/4; 0,4579) і (0,4579; +∞), функція x² - 3x³ - 1 є від'ємною. Тобто нерівність x² - 3x³ < 1/6 виконується на лучі [1/4; +∞).

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для доказательства неравенства \(x^2 - 3x^3 < \frac{1}{6}\) на луче \([ \frac{1}{4}, +\infty)\), мы можем выполнить следующие шаги:

1. Найдем интервал, на котором неравенство выполняется: Подставим нижнюю границу интервала \(x = \frac{1}{4}\) в левую часть неравенства: \[ \left( \frac{1}{4} \right)^2 - 3 \left( \frac{1}{4} \right)^3 \]

2. Упростим выражение: \[ \frac{1}{16} - \frac{3}{64} \]

3. Найдем общий знаменатель и сложим дроби: \[ \frac{4}{64} - \frac{3}{64} = \frac{1}{64} \]

Таким образом, при \(x = \frac{1}{4}\), левая часть неравенства равна \(\frac{1}{64}\).

4. Докажем, что левая часть неравенства убывает на интервале \([ \frac{1}{4}, +\infty)\): Возьмем производную от \(x^2 - 3x^3\): \[ \frac{d}{dx} (x^2 - 3x^3) = 2x - 9x^2 \]

Поскольку коэффициент при \(x^2\) положителен, а коэффициент при \(x^3\) отрицателен, уравнение имеет корень \(x = 0\) и корень \(x = \frac{2}{9}\). Это означает, что функция убывает на интервале \([ \frac{1}{4}, +\infty)\).

5. Найдем предел левой части неравенства при \(x \to +\infty\): \[ \lim_{{x \to +\infty}} (x^2 - 3x^3) = -\infty \]

6. Сформулируем вывод: Так как левая часть неравенства убывает на интервале \([ \frac{1}{4}, +\infty)\) и имеет предел \(-\infty\) при \(x \to +\infty\), а при \(x = \frac{1}{4}\) значение левой части равно \(\frac{1}{64}\), то неравенство \(x^2 - 3x^3 < \frac{1}{6}\) выполняется на интервале \([ \frac{1}{4}, +\infty)\).