Question

На прямій відмітили кілька точок. Після цього між кожними двома сусідніми точками поставили ще по точці. Таку операцію виконали кілька разів (може бути один раз). В результаті на прямій виявилося 65точок. Скільки точок могло бути на прямій спочатку?

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Якщо на початку було деяка кількість точок, і після кожної операції між кожними двома сусідніми точками додається ще одна точка, то кількість операцій дорівнює кількості нових точок між сусідніми точками.

Отже, якщо на прямій було N точок на початку, і після виконання операцій їх стало 65, то N + N-1 + N-1-1 + ... + 1 = 65.

Це арифметична прогресія, і можна використовувати формулу для суми перших n членів арифметичної прогресії: S = (n/2) * (2a + (n-1)d), де S - сума, a - перший член, n - кількість членів, d - різниця між членами.

У нашому випадку S = 65, a = N, n - це кількість операцій, і d = -1 (різниця між сусідніми членами -1).

Отже, 65 = (n/2) * (2N + (n-1)(-1))

65 = (n/2) * (2N - (n-1))

Потрібно знайти значення N і n, які задовольняють цю рівність. Оскільки n та N - цілі числа, можна виконати перебір варіантів.

Якщо виконати перебір, то можна знайти, що можливі варіанти це N = 13 та n = 10, бо 65 = (10/2) * (2*13 - (10-1)).

Отже, на початку було 13 точок, і виконано 10 операцій, щоб отримати загальну кількість 65 точок.

Answer 2

Problem Analysis

We are given that on a straight line, several points were marked. After that, one additional point was placed between each pair of neighboring points. This operation was repeated multiple times, resulting in a total of 65 points on the line. We need to determine how many points could have been on the line initially.

Solution

Let's assume that there were initially n points on the line. After placing one additional point between each pair of neighboring points, the number of points doubles. Therefore, after the first operation, there would be 2n - 1 points on the line.

If this operation was repeated multiple times, the number of points on the line would follow the pattern: 2n - 1, 2(2n - 1) - 1, 2(2(2n - 1) - 1) - 1, and so on.

We are given that the final number of points on the line is 65. Let's work backward to find the initial number of points.

1. Start with the final number of points: 65. 2. Reverse the last operation: (65 + 1) / 2 = 33. 3. Reverse the second-to-last operation: (33 + 1) / 2 = 17. 4. Reverse the third-to-last operation: (17 + 1) / 2 = 9. 5. Reverse the fourth-to-last operation: (9 + 1) / 2 = 5. 6. Reverse the fifth-to-last operation: (5 + 1) / 2 = 3. 7. Reverse the sixth-to-last operation: (3 + 1) / 2 = 2. 8. Reverse the seventh-to-last operation: (2 + 1) / 2 = 1.

Therefore, the initial number of points on the line could have been 1.

Answer

The initial number of points on the line could have been 1.

Explanation

Initially, there was only one point on the line. After placing one additional point between each pair of neighboring points, the number of points doubled. This operation was repeated multiple times, resulting in a total of 65 points on the line.