Question

Дано вектори р(4; -3), m(9; у), n(-2; 5). При якому зна- ченні у модуль вектора р + m - к буде найменшим, -​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Ми шукаємо значення "у", при якому модуль вектора "р + м - к" буде найменшим. Спочатку обчислимо вектор "р + м - к" для загального вигляду "у" і потім знайдемо значення "у", при якому цей вектор матиме найменший модуль.

Вектор "р + м - к" має наступні координати:

(4; -3) + (9; у) - (-2; 5) = (4 + 9 + 2; -3 + у - 5) = (15; у - 8).

Тепер ми шукаємо модуль цього вектора:

|р + м - к| = |(15; у - 8)| = √(15^2 + (у - 8)^2).

Ми хочемо знайти значення "у", при якому вираз √(15^2 + (у - 8)^2) буде найменшим. Це відомий вираз відстані між двома точками в координатній площині, де одна точка - (15, 8), а інша точка - (0, у).

Для мінімізації цього виразу, ми повинні знайти точку, де відстань між цими двома точками найкоротша. Це стається, коли пряма, яка проходить через ці дві точки, перпендикулярна вектору (15, у - 8). Це означає, що коефіцієнт напрямного косинусу між вектором (15, у - 8) і вектором (0, 1) дорівнює 0.

Отже, ми маємо вираз для коефіцієнта напрямного косинусу:

(15 * 0 + (у - 8) * 1) / (√(15^2 + (у - 8)^2) * √(0^2 + 1^2)) = (у - 8) / √(15^2 + (у - 8)^2).

Цей вираз дорівнює 0, коли у - 8 = 0, тобто у = 8.

Отже, при у = 8 модуль вектора "р + м - к" буде найменшим.

Answer 2

Для нахождения значения у, при котором модуль вектора \( \overrightarrow{r} + \overrightarrow{m} - \overrightarrow{n} \) будет минимальным, мы сначала найдем вектор \( \overrightarrow{r} + \overrightarrow{m} - \overrightarrow{n} \), а затем вычислим его модуль.

Имеем: \[ \overrightarrow{r} = (4, -3) \] \[ \overrightarrow{m} = (9, y) \] \[ \overrightarrow{n} = (-2, 5) \]

Сначала найдем вектор \( \overrightarrow{r} + \overrightarrow{m} - \overrightarrow{n} \): \[ \overrightarrow{r} + \overrightarrow{m} - \overrightarrow{n} = \overrightarrow{r} + \overrightarrow{m} + (-\overrightarrow{n}) \] \[ \overrightarrow{r} + \overrightarrow{m} - \overrightarrow{n} = \overrightarrow{r} + \overrightarrow{m} + \overrightarrow{n_{reverse}} \] \[ \overrightarrow{r} + \overrightarrow{m} - \overrightarrow{n} = (4, -3) + (9, y) + (2, -5) \] \[ \overrightarrow{r} + \overrightarrow{m} - \overrightarrow{n} = (4 + 9 - 2, -3 + y - 5) \] \[ \overrightarrow{r} + \overrightarrow{m} - \overrightarrow{n} = (11, y - 8) \]

Теперь вычислим модуль вектора \( \overrightarrow{r} + \overrightarrow{m} - \overrightarrow{n} \): \[ |\overrightarrow{r} + \overrightarrow{m} - \overrightarrow{n}| = \sqrt{11^2 + (y - 8)^2} \]

Для нахождения минимального значения модуля вектора, нам нужно минимизировать выражение \( \sqrt{11^2 + (y - 8)^2} \).

Модуль вектора будет минимальным, когда \( (y - 8)^2 \) будет равно 0, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным, а равенство нулю обеспечит минимальное значение. Таким образом, \( y - 8 = 0 \), что дает \( y = 8 \).

Следовательно, при \( y = 8 \), модуль вектора \( \overrightarrow{r} + \overrightarrow{m} - \overrightarrow{n} \) будет минимальным.