Question

Складіть рівняння кола, центр якого знаходиться в точці 0(-2; 3) і яке дотикається до прямої х = 2.

Answer 1

Коло, яке дотикається до прямої \(x = 2\), матиме центр в точці \((-2, 3)\) та радіус, який є відстанню від центру кола до точки дотику з прямою. Оскільки це дотикання, цей радіус також буде перпендикулярним до прямої \(x = 2\).

Таким чином, довжина радіусу дорівнює різниці між абсцисою центра кола та абсцисою точки дотику з прямою:

\[ \text{Радіус} = |-2 - 2| = 4. \]

Рівняння кола з центром у точці \((-2, 3)\) і радіусом 4 має вигляд:

\[ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 4^2. \]

Зводячи квадрати, отримаємо:

\[ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 16. \]

Answer 2

Equation of a Circle with Center and Tangent Line

To find the equation of a circle with a center at the point (h, k) and tangent to a line, we can use the following steps:

1. Determine the center of the circle. In this case, the center is given as (0, -2; 3).

2. Find the slope of the tangent line. The given line is x = 2, which is a vertical line. Vertical lines have an undefined slope.

3. Use the distance formula to find the radius of the circle. The distance between the center of the circle and any point on the tangent line should be equal to the radius of the circle.

4. Write the equation of the circle using the center and radius.

Let's go through these steps in detail.

Step 1: Determine the center of the circle

The center of the circle is given as (0, -2; 3).

Step 2: Find the slope of the tangent line

The given line is x = 2, which is a vertical line. Vertical lines have an undefined slope.

Step 3: Use the distance formula to find the radius of the circle

To find the radius of the circle, we need to find the distance between the center of the circle and any point on the tangent line. Since the tangent line is vertical and passes through the point (2, 0), the distance between the center (0, -2; 3) and the point (2, 0) is the radius of the circle.

The distance formula is given by:

d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Substituting the values, we have:

radius = sqrt((2 - 0)^2 + (0 - (-2))^2) = sqrt(4 + 4) = sqrt(8)

So, the radius of the circle is sqrt(8).

Step 4: Write the equation of the circle

The equation of a circle with center (h, k) and radius r is given by:

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

Substituting the values, we have:

(x - 0)^2 + (y - (-2))^2 = (sqrt(8))^2

Simplifying, we get:

x^2 + (y + 2)^2 = 8

Therefore, the equation of the circle with center (0, -2; 3) and tangent to the line x = 2 is x^2 + (y + 2)^2 = 8.

Please let me know if you need any further assistance!