Question

Найдите сумму кубов корней данного квадратного уравнения. х^2 - 4х - 1 = 0

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Добре, ось легкий спосіб знайти суму кубових коренів цього квадратного рівняння:

Ми знаємо, що сума коренів квадратного рівняння x^2 - 4x - 1 = 0 дорівнює 4 (це випливає з коефіцієнта -4 перед x^1).

Тепер, якщо x1 і x2 є коренями рівняння, то:

x1 + x2 = 4

Зараз знайдемо кубові корені цих значень:

Кубовий корінь x1: x1^(1/3)

Кубовий корінь x2: x2^(1/3)

Сума кубових коренів:

Сума кубових коренів = x1^(1/3) + x2^(1/3)

Answer 2

Давайте рассмотрим квадратное уравнение \(x^2 - 4x - 1 = 0\). Чтобы найти корни этого уравнения, можно воспользоваться формулой квадратного корня:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где у нас есть уравнение в форме \(ax^2 + bx + c = 0\). В данном случае:

\[ a = 1, \ b = -4, \ c = -1 \]

Теперь подставим эти значения в формулу:

\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} \]

\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} \]

\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} \]

\[ x = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} \]

\[ x = 2 \pm \sqrt{5} \]

Таким образом, корни уравнения \(x^2 - 4x - 1 = 0\) равны \(x = 2 + \sqrt{5}\) и \(x = 2 - \sqrt{5}\).

Теперь найдем кубы этих корней и сложим их:

\[ (2 + \sqrt{5})^3 + (2 - \sqrt{5})^3 \]

Для упрощения расчетов воспользуемся формулой суммы кубов:

\[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \]

Применим эту формулу:

\[ (2 + \sqrt{5})^3 + (2 - \sqrt{5})^3 = (2 + \sqrt{5} + 2 - \sqrt{5})((2 + \sqrt{5})^2 - (2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5}) + (2 - \sqrt{5})^2) \]

\[ = 4((2 + \sqrt{5})^2 - (2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5}) + (2 - \sqrt{5})^2) \]

Раскроем скобки:

\[ = 4(4 + 4\sqrt{5} + 5 - (4 - 5) + 4 - 4\sqrt{5} + 5) \]

\[ = 4(18) \]

\[ = 72 \]

Таким образом, сумма кубов корней уравнения \(x^2 - 4x - 1 = 0\) равна 72.