Question

2. Дан прямоугольник. Его диагональ образует с меньшей стороной угол, равный 40°. Найдите угол между диагоналями прямоугольника, лежащий против его большей стороны. [3] ВЫРУЧАЙТЕ!​

Answer 1

У нас есть прямоугольник, в котором диагональ образует угол 40° с меньшей стороной. Давайте обозначим длины сторон прямоугольника как a и b, где a > b.

Известно, что диагональ образует угол 40° с меньшей стороной. Поскольку диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, а меньшая сторона - одним из его катетов, мы можем использовать тригонометрию для нахождения длины сторон треугольника.

Так как меньшая сторона прямоугольника является катетом, то мы можем использовать тангенс угла 40° для нахождения длины стороны b:

tg(40°) = b/a b = a * tg(40°)

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины диагонали прямоугольника, которая является гипотенузой треугольника:

d^2 = a^2 + b^2

Заменяем b в формуле:

d^2 = a^2 + (a * tg(40°))^2 d^2 = a^2 + a^2 * tg^2(40°) d^2 = a^2 * (1 + tg^2(40°))

Теперь извлекаем квадратный корень:

d = sqrt(a^2 * (1 + tg^2(40°))) d = sqrt(a^2) * sqrt(1 + tg^2(40°)) d = a * sqrt(1 + tg^2(40°))

Теперь у нас есть длины сторон прямоугольника и длина его диагонали.

Чтобы найти угол между диагоналями прямоугольника, мы можем использовать косинусную теорему:

cos(α) = (b^2 + d^2 - a^2) / (2 * b * d)

Где α - угол между диагоналями, а b и d - длины сторон и диагонали соответственно.

Подставляем значения:

cos(α) = (a * tg(40°))^2 + a^2 - a^2 / (2 * a * a * sqrt(1 + tg^2(40°))) cos(α) = (a * tg(40°))^2 / (2 * a^2 * sqrt(1 + tg^2(40°)))

Упрощаем выражение и находим cos(α):

cos(α) = tg^2(40°) / (2 * sqrt(1 + tg^2(40°)))

Теперь находим угол α, используя обратный косинус:

α = arccos(cos(α))

Как только мы знаем угол α, мы можем найти угол, лежащий против большей стороны прямоугольника, используя свойство суммы углов треугольника:

β = 180° - 90° - α β = 90° - α

Таким образом, чтобы найти угол между диагоналями прямоугольника, лежащий против его большей стороны, мы сначала найдем длины сторон и диагонали, затем используем косинусную теорему, обратный косинус и свойство суммы углов треугольника.