Question

9. Знайти корені рівняння √2x — 1 = √1 – 2x​

Answer 1

Ответ:

√2х-1=1-2х

√2x+2x=1+1

(√2+2) x = 2

х= – 2/√2+2 (це мінусовий дріб)

х= –√2+2

Answer 2

Для розв'язання рівняння √(2x) - 1 = √(1 - 2x), спочатку перенесемо всі терміни з коренями на одну сторону рівняння:

√(2x) - √(1 - 2x) = 1.

Для спрощення цього виразу, помножимо обидві частини рівняння на кон'юговану виразу √(2x) + √(1 - 2x):

(√(2x) - √(1 - 2x)) * (√(2x) + √(1 - 2x)) = 1 * (√(2x) + √(1 - 2x)).

Застосуємо різницю квадратів на лівій стороні рівняння:

(√(2x))^2 - (√(1 - 2x))^2 = √(2x) + √(1 - 2x).

2x - (1 - 2x) = √(2x) + √(1 - 2x).

Спрощуємо це рівняння:

2x - 1 + 2x = √(2x) + √(1 - 2x).

4x - 1 = √(2x) + √(1 - 2x).

Тепер перенесемо всі терміни з коренями на одну сторону рівняння:

4x - √(2x) - √(1 - 2x) = 1.

Залишимо корені окремо:

√(2x) + √(1 - 2x) = 4x - 1.

Тепер піднесемо обидві частини цього рівняння до квадрату, щоб позбутися коренів:

(√(2x) + √(1 - 2x))^2 = (4x - 1)^2.

Розкриваємо квадрати:

(2x) + 2√(2x)√(1 - 2x) + (1 - 2x) = 16x^2 - 8x + 1.

Спрощуємо вираз:

2x + 2√(2x)√(1 - 2x) + 1 - 2x = 16x^2 - 8x + 1.

Зменшуємо подібні терміни:

2√(2x)√(1 - 2x) + 1 = 16x^2 - 8x + 1.

Віднімаємо 1 від обох боків рівняння:

2√(2x)√(1 - 2x) = 16x^2 - 8x.

Ділимо обидві частини на 2:

√(2x)√(1 - 2x) = 8x^2 - 4x.

Тепер піднесемо обидві частини до квадрату, щоб позбутися коренів:

(√(2x)√(1 - 2x))^2 = (8x^2 - 4x)^2.

Розкриваємо квадрати:

(2x)(1 - 2x) = (64x^4 - 64x^3 + 16x^2).

Спрощуємо вираз:

2x - 4x^2 = 64x^4 - 64x^3 + 16x^2.

Зведемо рівняння до квадратної форми:

64x^4 - 64x^3 + 16x^2 - 2x + 4x^2 = 0.

64x^4 - 64x^3 + 20x^2 - 2x = 0.

Тепер факторизуємо це рівняння. Загалом, факторизування складного полінома може бути складним завданням, і не завжди існує простий спосіб знайти корені. В даному випадку, ми можемо помітити, що поліном має загальний множник x:

x(64x^3 - 64x^2 + 20x - 2) = 0.

Тоді ми можемо розділити це рівняння на два окремих рівняння:

x = 0.

і

64x^3 - 64x^2 + 20x - 2 = 0.

Перший корінь x = 0 є тривіальним розв'язком.

Для розв'язання другого рівняння 64x^3 - 64x^2 + 20x - 2 = 0, можна використати методи факторизації, але в даному випадку факторизувати це рівняння не є простим завданням. Можна також використати чисельні методи, такі як метод Ньютона або метод ділення пополам, для наближеного знаходження коренів цього рівняння.