Question

Упростите выражения √6+√12+√18/√2+√6+2

Answer 1

Ответ:

1. Разложим корни чисел на множители:

√6 = √(2 * 3)

√12 = √(2 * 2 * 3)

√18 = √(2 * 3 * 3)

2. Упростим каждый корень:

√6 = √(2 * 3) = √2√3

√12 = √(2 * 2 * 3) = 2√3

√18 = √(2 * 3 * 3) = 3√2

3. Подставим упрощенные корни обратно в выражение:

√2√3 + 2√3 + 3√2 / √2 + √2√3 + 2

4. Сгруппируем термины с одинаковыми корнями:

(√2√3 + 3√2) + (2√3 + √2√3) / (√2 + 2)

5. Упростим числители:

√2(√3 + 3) + √2(2√3 + √3) / (√2 + 2)

6. Факторизуем общий множитель √2:

√2(√3 + 3 + 2√3 + √3) / (√2 + 2)

7. Упростим числитель:

√2(4√3 + 4) / (√2 + 2)

8. Раскроем скобки в знаменателе:

√2(4√3 + 4) / (√2(1 + 1))

9. Упростим выражение, деля числитель и знаменатель на √2:

(4√3 + 4) / (1 + 1)

10. Упростим окончательно:

(4√3 + 4) / 2 = 2√3 + 2

упрощенное выражение равно 2√3 + 2.

Answer 2

Для упрощения данного выражения сначала разложим подкоренные выражения на множители:

\(\sqrt{6} = \sqrt{2 \cdot 3}\)

\(\sqrt{12} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 3}\)

\(\sqrt{18} = \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 3}\)

Теперь мы можем подставить эти выражения обратно:

\(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{12} + \sqrt{18}}{\sqrt{2} + \sqrt{6} + 2} = \frac{\sqrt{2 \cdot 3} + \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 3} + \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 3}}{\sqrt{2} + \sqrt{6} + 2}\)

Теперь проведем сокращение под корнями:

\(\frac{\sqrt{2 \cdot 3} + \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 3} + \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 3}}{\sqrt{2} + \sqrt{6} + 2} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{6} + 2}\)

Теперь объединим подобные подкоренные выражения:

\(\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{6} + 2} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} (1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})}{\sqrt{2} + \sqrt{6} + 2}\)

Теперь упростим дробь, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{2} - \sqrt{6}\) (это сопряженное выражение к \(\sqrt{2} + \sqrt{6}\)):

\(\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} (1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})}{\sqrt{2} + \sqrt{6} + 2} \cdot \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}\)

Раскрываем скобки и упрощаем:

\(\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} (1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{6})}{(\sqrt{2} + \sqrt{6} + 2) \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{6})}\)

Раскрываем скобки в знаменателе:

\(\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} (1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{6})}{2 + 6 - 4}\)

Упрощаем знаменатель:

\(\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} (1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{6})}{4}\)

Теперь можно упростить числитель:

\(\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{6}) + \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{6}) + \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{6})}{4}\)

\(\frac{2\sqrt{6} - 6 + \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} (\sqrt{2} - \sqrt{6})}{4}\)

\(\frac{2\sqrt{6} - 6 + 2\sqrt{6} - 2\sqrt{18}}{4}\)

\(\frac{4\sqrt{6} - 6 - 2\sqrt{18}}{4}\)

Теперь упростим числитель:

\(\frac{4\sqrt{6} - 6 - 2\sqrt{18}}{4} = \frac{4\sqrt{6} - 6 - 2 \cdot 3\sqrt{2}}{4}\)

Разделим каждый член числителя на 2:

\(\frac{2\sqrt{6} - 3 - 3\sqrt{2}}{2}\)

Таким образом, упрощенное выражение равно \(\frac{2\sqrt{6} - 3 - 3\sqrt{2}}{2}\).