Question

Помогите пожалуйста решить задачи 1) √7-2x+√2x-6=1 2) √5x-6≥3 3) √x+7≤ 2x-1 4)|6x-2|=x+4

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1) √7-2x+√2x-6=1

ОДЗ:  7-2x ≥ 0   →   2x ≤ 7  →   x ≤ 7/2   →  x ≤ 3,5
          2x - 6 ≥ 0 →    2x ≥ 6  → x ≥ 3

ОДЗ: x ≤ 3,5,  x ≥ 3

Возведем левую и правую части в квадраты:

(√7-2x+√2x-6)² = 1²
(√7-2x)² +2*√7-2x * √2x-6 + (√2x-6)² = 1
7-2x +2 √(7-2x)(2x-6)  + 2x - 6 = 1
2√(14x-4x²-42+12x) + 1 = 1

2√(-4x²+26x-42) = 0
√(-4x²+26x-42) = 0
-4x²+26x-42= 0
-2x² +13x -21 = 0 или

2x² -13x +21 = 0

D = b² -4ac = (-13)² - 4*2*21 = 169 -168 = 1
D =1 > 0,  ищем корни:
x = (-b ± √D)/2a

x₁ = (-(-13) +1)/2*2 = (13+1)/4= 14*4 = 7/2 = 3.5

x₂ = (13-1)/4 = 12/4 = 3

С помощью подстановки проверим, являются ли найденные решения корнями исходного уравнения: √7-2x  + √2x-6 = 1

x₁=3,5 → √7 -2*3.5 +√2*3,5-6 = 1 →  √0 + √1 = 1  →  1=1
x₁ =3,5   - корень
x₂ = 3 → √7-2*3 +√2*3 - 6=1 →  √1 +√0 = 1 → 1=1
x₂= 3  - корень уравнения

------------------------------------

2) √5x-6 ≥ 3       ОДЗ: 5х - 6 ≥ 0 →  5x ≥ 6  → x ≥6/5  → x ≥ 1,2

(√5x-6)² ≥ 3²
5x - 6 ≥ 9
5x ≥ 9+6
5x ≥ 15
x ≥ 3
Проверим:
√(5*3-6)≥ 3  → √9 = 3 → 3=3
х=3 - корень уравнения.

Отмечаем полученные точки x ≥ 1,2  и х = 3 на координатной прямой и находим, где функция f(x) = √(5x-6) - 3 ≥ 0

нет решения             1,2     -             3       +
_________________о__________ . ///////////////////////

1) При   1,2 ≤ х < 3      f(x) <0
√(5x-6) - 3 < 0, например, при х =2:  
f(x) = √(5*2-6) - 3 = √4 - 3 = 2-3 = -1 < 0

2) при x =3   f(x) = 0
3) при x > 3  f(x) > 0

Ответ:  x ∈ [3; +∞)

-----------------------------------------

3) √x+7  ≤   2x-1    ОДЗ: х + 7 ≥ 0  →   x ≥ -7

√(x+7) - 2x + 1 ≤ 0

Введем переменную t  и подставим ее в неравенство:
x = t² -7    →    t = √x+7

√(t² -7 + 7) - 2(t²-7) + 1 ≤ 0

√t² - 2t²+14 + 1 ≤ 0
- 2t² + t +15 ≤ 0

D = b² -4ac = 1² -4*(-2)*15 = 1 + 120 =121
t = ((-b) ± √D)/2a

t₁= (-1  +11)/2*(-2) = -10/4 = -5/2 = -2.5

t₂ = (-1 -11)/(-4) = 3

Найдем х:

x = t² -7

x₁ = (-2.5)² -7 = 6,25 - 7 = - 0,75
x₂ = 3² - 7 = 2
Проверим, являются вычисленные решения корнями исходного уравнения √x+7 = 2x-1 :

x₁ = -0.75  → √(-0.75+7) = 2*(-0.75) - 1 →  √6.25 = -2.5  → 2.5 ≠ - 2.5
x₁ = -0.75  - не является корнем исходного уравнения.

x₂ = 2 → √2+7 = 2*2-1 →  √9 = 3 → 3=3
x₂ =2 - корень уравнения

Отмечаем нули на координатной прямой

           -7       +           2     -

______о_________ . _________

Функция f(x) = √(x+7) - 2x+1 ≤ 0, т.е убывает на участке от 2 до +∞.

x = [2; + ∞)

_______________________________________

4) |6x-2|=x+4

a) 6x - 2 = x + 4   → 6x - x = 4 + 2  → 5x = 6  →   x = 6/5    →  x = 1.2

b) - (6x - 2) = x + 4   →  -6x - x = 4 - 2 →   -7x = 2  → x = -2/7

Проверим:

x₁ = 1.2  → |6*1.2 -2 | = 1.2+4 →  5,2 = 5,2
х₁ = 1,7 является корнем уравнения

x₂ = -2/7   →    |6*(-2/7)  -2 | = (-2/7) + 4  → |-12/7   - 2 | = 26/7 → |-26/7| = 26/7

х₂ = -2/7 является корнем уравнения

Answer 2

Давайте решим каждую задачу по порядку.

1) √7 - 2x + √2x - 6 = 1

Для начала, перенесем все члены уравнения в одну сторону:

√7 + √2x - 2x - 6 = 1

Затем, объединим подобные члены:

√2x - 2x + √7 - 6 = 1

Теперь, избавимся от корней, возводя обе стороны уравнения в квадрат:

(√2x - 2x + √7 - 6)^2 = 1^2

(2x - 2x + 7 - 6)^2 = 1

(1)^2 = 1

1 = 1

Таким образом, исходное уравнение верно для любого значения x.

2) √5x - 6 ≥ 3

Перенесем 3 на другую сторону уравнения:

√5x - 6 - 3 ≥ 0

√5x - 9 ≥ 0

Теперь, возведем обе стороны уравнения в квадрат:

(√5x - 9)^2 ≥ 0^2

(5x - 9)^2 ≥ 0

Таким образом, исходное неравенство верно для любого значения x.

3) √x + 7 ≤ 2x - 1

Перенесем 2x и -7 на другую сторону уравнения:

√x - 2x + 7 + 1 ≤ 0

√x - 2x + 8 ≤ 0

Теперь, возведем обе стороны уравнения в квадрат:

(√x - 2x + 8)^2 ≤ 0^2

(8 - x - 2x)^2 ≤ 0

(-3x + 8)^2 ≤ 0

Так как квадрат любого числа не может быть отрицательным, то данное неравенство не имеет решений.

4) |6x - 2| = x + 4

Разберем данное уравнение по двум случаям, в зависимости от значения выражения 6x - 2:

- Если 6x - 2 ≥ 0, то |6x - 2| = 6x - 2. Подставим это в уравнение:

6x - 2 = x + 4

Перенесем все члены с x на одну сторону:

6x - x = 4 + 2

5x = 6

x = 6/5

- Если 6x - 2 < 0, то |6x - 2| = -(6x - 2). Подставим это в уравнение:

-(6x - 2) = x + 4

Перенесем все члены с x на одну сторону:

-6x + 2 = x + 4

Перенесем все члены без x на другую сторону:

-6x - x = 4 - 2

-7x = 2

x = -2/7

Таким образом, уравнение имеет два решения: x = 6/5 и x = -2/7.