Question

Срочно !!! Найти общее решение дифференциального уравнения и указать его вид: y'*sqrt(1+y^2)=x^2/y

Answer 1

Ответ:

$y '\sqrt{1 + {y}^{2} } = \frac{ {x}^{2} }{y}$

это ДУ с разделяющимися переменными.

$\frac{dy}{dx} \sqrt{1 + {y}^{2} } = \frac{ {x}^{2} }{y} \\ \int\limits \: y \sqrt{1 + {y}^{2} } dy = \int\limits {x}^{2} dx \\ \frac{1}{2} \int\limits2y \sqrt{1 + {y}^{2} } = \frac{ {x}^{3} }{3} + C \\ \frac{1}{2} \int\limits {(1 + {y}^{2}) }^{ \frac{1}{2} } d(1 + {y}^{2} ) = \frac{ {x}^{3} }{3} + C\\ \frac{1}{2} \times \frac{ {(1 + {y}^{2}) }^{ \frac{3}{2} } }{ \frac{3}{2} } = \frac{ {x}^{3} }{3} + C\\ \frac{1}{3} \sqrt{ {(1 + {y}^{2}) }^{3} } = \frac{ {x}^{3} }{3} + C\\ \sqrt{ {(1 + {y}^{2}) }^{3} } = {x}^{3} + C$

общее решение

Answer 2

Для нахождения общего решения дифференциального уравнения y'*sqrt(1+y^2)=x^2/y+ мы можем воспользоваться методом разделения переменных.

Первым шагом умножим обе стороны уравнения на y:

y*y'*sqrt(1+y^2)=x^2

Теперь введем замену переменных:

u = 1 + y^2 du = 2y*y' dy

Получим:

(1/2)*du*sqrt(u) = x^2 dx

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫(1/2)*sqrt(u) du = ∫x^2 dx

(1/2)*(2/3)*u^(3/2) = (1/3)x^3 + C

Подставим обратно выражение для u:

(1/3)*(1 + y^2)^(3/2) = (1/3)x^3 + C

Умножим обе стороны на 3 и возведем в степень 2/3:

(1 + y^2)^(3/2) = x^3 + C

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

(1 + y^2)^(3/2) = x^3 + C

где C - произвольная постоянная.