Question

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Р(1;0;2)перпендикулярно плоскостям 2х-у+3z-1=0 и 3х+6у+3z-5=0

Answer 1

Ответ:

Так как плоскость проходит через точку P(1;0;2), то вектор нормали к этой плоскости будет перпендикулярен векторам нормалей плоскостей 2х-у3z-10 и 3х6у3z-50.

Вектор нормали к первой плоскости: (2, -1, -3) Вектор нормали ко второй плоскости: (3, 6, -3)

Вектор нормали к искомой плоскости будет равен векторному произведению этих двух векторов: (2, -1, -3) × (3, 6, -3) = (18, -15, 0)

Таким образом, уравнение искомой плоскости будет иметь вид: 18x - 15y + 0z + D = 0

Подставляя координаты точки P(1;0;2), получаем: 181 - 150 + 0*2 + D = 0 18 + D = 0 D = -18

Итого, уравнение плоскости, проходящей через точку P(1;0;2) и перпендикулярной плоскостям 2х-у3z-10 и 3х6у3z-50, будет иметь вид: 18x - 15y - 18 = 0

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для составления уравнения плоскости, проходящей через точку Р(1;0;2) и перпендикулярной двум плоскостям, нам понадобится векторное произведение векторов, лежащих в данных плоскостях. Векторное произведение даст нам нормальный вектор для новой плоскости.

Нахождение нормального вектора

Для каждой из данных плоскостей, уравнение которых дано в общем виде Ax + By + Cz + D = 0, нормальный вектор можно получить из коэффициентов A, B и C. Нормальный вектор каждой плоскости будет иметь координаты (A, B, C).

Плоскость 1: 2x - y + 3z - 1 = 0 Нормальный вектор плоскости 1: (2, -1, 3)

Плоскость 2: 3x + 6y + 3z - 5 = 0 Нормальный вектор плоскости 2: (3, 6, 3)

Векторное произведение

Для нахождения нормального вектора новой плоскости, мы можем взять векторное произведение двух векторов, лежащих в данных плоскостях:

Новый нормальный вектор = (2, -1, 3) x (3, 6, 3)

Для вычисления векторного произведения можно использовать правило Саррюса:

i  j  k
2 -1  3     (3 * 3 - 6 * (-1))i + (3 * 3 - 3 * 2)j + (2 * (-1) - (-1) * 6)k
3  6  3

Вычисляя, получим:

(21)i + (3)j + (-8)k

Новый нормальный вектор = (21, 3, -8)

Уравнение плоскости

После получения нормального вектора новой плоскости и зная точку Р(1;0;2), мы можем записать уравнение плоскости в общем виде Ax + By + Cz + D = 0.

С подставленными координатами точки Р(1;0;2) и коэффициентами нормального вектора (A, B, C), уравнение плоскости будет выглядеть следующим образом:

21x + 3y - 8z + D = 0

Чтобы определить значение D, мы можем подставить координаты точки Р(1;0;2) в это уравнение:

21 * 1 + 3 * 0 - 8 * 2 + D = 0

21 - 16 + D = 0

5 + D = 0

D = -5

Итак, уравнение плоскости, проходящей через точку Р(1;0;2) и перпендикулярной плоскостям 2x - y + 3z - 1 = 0 и 3x + 6y + 3z - 5 = 0, будет:

21x + 3y - 8z - 5 = 0