Question

Знайдіть критичні точки функції f(x)=2x⁴- x²+1​

Answer 1

Ответ:

Для знаходження критичних точок функції f(x), спершу знайдемо її похідну і прирівняємо її до нуля:

f(x) = 2x⁴ - x² + 1

f'(x) = 8x³ - 2x

Тепер прирівняємо похідну до нуля:

8x³ - 2x = 0

Далі розв'яжемо це рівняння:

2x(4x² - 1) = 0

Тепер розглянемо два випадки:

1. 2x = 0, звідки отримуємо x = 0.

2. 4x² - 1 = 0. Розв'яжемо це рівняння:

4x² = 1

x² = 1/4

x = ±1/2

Отже, критичні точки функції f(x) = 2x⁴ - x² + 1 це x = 0, x = 1/2 і x = -1/2.

Answer 2

Критические точки функции \( f(x) = 2x^4 - x^2 + 1 \) можно найти, взяв производную функции и приравняв ее к нулю. После этого решив уравнение, можно найти значения \( x \), соответствующие критическим точкам.

1. Найдем производную функции \( f(x) \): \[ f'(x) = 8x^3 - 2x \]

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение: \[ 8x^3 - 2x = 0 \]

3. Вынесем общий множитель \( 2x \): \[ 2x(4x^2 - 1) = 0 \]

Таким образом, у нас есть два множителя, которые могут быть равны нулю: - \( 2x = 0 \) (отсюда следует, что \( x = 0 \)) - \( 4x^2 - 1 = 0 \)

4. Решим уравнение \( 4x^2 - 1 = 0 \): \[ 4x^2 = 1 \] \[ x^2 = \frac{1}{4} \] \[ x = \pm \frac{1}{2} \]

Итак, у нас три критические точки: - \( x = 0 \) - \( x = \frac{1}{2} \) - \( x = -\frac{1}{2} \)

Чтобы определить, является ли каждая из этих точек локальным максимумом, минимумом или седловой точкой, необходимо проанализировать вторую производную функции и применить критерий знака.

1. Найдем вторую производную функции \( f(x) \): \[ f''(x) = 24x^2 - 2 \]

2. Подставим найденные критические точки и проанализируем знак второй производной: - Для \( x = 0 \): \( f''(0) = -2 \) (отрицательное значение, следовательно, это точка локального максимума). - Для \( x = \frac{1}{2} \): \( f''\left(\frac{1}{2}\right) = 12 - 2 = 10 \) (положительное значение, следовательно, это точка локального минимума). - Для \( x = -\frac{1}{2} \): \( f''\left(-\frac{1}{2}\right) = 12 - 2 = 10 \) (положительное значение, следовательно, это точка локального минимума).

Таким образом, у функции \( f(x) = 2x^4 - x^2 + 1 \) есть три критические точки: - \( x = 0 \) (локальный максимум), - \( x = \frac{1}{2} \) (локальный минимум), - \( x = -\frac{1}{2} \) (локальный минимум).