Question

Решите интеграл 2/(1-4x^2) пожалуйста!

Answer 1

$\displaystyle \int \dfrac2{1-4x^2}~dx=2\int\dfrac1{1-4x^2}~dx=\int\dfrac1{1-u^2}~du, ((u=2x)) = \dfrac12\cdot\ln\dfrac{u+1}{-u+1}+const=\dfrac12\ln\dfrac{2x+1}{1-2x}+const$

Answer 2

Привет! Я могу помочь решить этот интеграл. Давайте начнем.

Для решения данного интеграла, мы можем использовать метод частных дробей. Сначала разложим дробь на простые дроби:

2/(1-4x^2) = A/(1+2x) + B/(1-2x)

Чтобы найти значения A и B, мы можем привести общий знаменатель и сравнить коэффициенты при одинаковых степенях x.

2 = A(1-2x) + B(1+2x)

Теперь раскроем скобки:

2 = A - 2Ax + B + 2Bx

Сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях x:

2 = (A + B) + (-2A + 2B)x

Из этого уравнения мы можем вывести два уравнения:

A + B = 2 -2A + 2B = 0

Решим эти уравнения методом подстановки или методом сложения/вычитания. Подставим значение B из второго уравнения в первое:

A + (2A/2) = 2 A + A = 2 2A = 2 A = 1

Теперь найдем значение B, подставив A = 1 во второе уравнение:

-2(1) + 2B = 0 -2 + 2B = 0 2B = 2 B = 1

Таким образом, мы получили значения A = 1 и B = 1. Теперь мы можем записать исходную дробь в виде суммы простых дробей:

2/(1-4x^2) = 1/(1+2x) + 1/(1-2x)

Теперь мы можем проинтегрировать каждую дробь отдельно:

∫2/(1-4x^2) dx = ∫1/(1+2x) dx + ∫1/(1-2x) dx

Для каждой дроби мы можем использовать замену переменной или стандартные интегралы, чтобы решить их.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, спрашивайте.