Question

ПОМОГИТЕ 100 БАЛЛОВ СРОЧНО РАДИ БОГА!!!!! Доказать, что 36x^2+100y^2=3600 - уравнение эллипса. Найти координаты фокусов и расстояние между ними

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Для доведення того, що рівняння 36x^2 + 100y^2 = 3600 є рівнянням еліпса, давайте спростимо його та перетворимо у стандартну форму. Спершу поділимо обидві сторони на 3600:

(36x^2 / 3600) + (100y^2 / 3600) = 1,

Тепер спростимо:

(x^2 / 100) + (y^2 / 36) = 1.

Зараз ми бачимо рівняння у стандартній формі для еліпса:

(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1,

де "a" і "b" - піввеликі та півмалий радіуси еліпса відповідно.

У нашому випадку a^2 = 100 і b^2 = 36, отже, a = 10 та b = 6.

Фокуси еліпса розташовані вздовж вісі x та знаходяться на відстані "c" від центра, де "c" знаходиться за допомогою рівняння:

c^2 = a^2 - b^2,

c^2 = 100 - 36,

c^2 = 64,

c = 8.

Отже, координати фокусів знаходяться на відстані "c" від центра, вздовж вісі x:

Перший фокус: (c, 0) = (8, 0).

Другий фокус: (-c, 0) = (-8, 0).

Расстояніе між фокусами дорівнює величині "2c", тобто 2 * 8 = 16.

Отже, координати фокусів еліпса - (8, 0) та (-8, 0), і відстань між ними - 16 одиниць.

Answer 2

Уравнение 36x^2 + 100y^2 = 3600 представляет собой уравнение эллипса. Чтобы доказать это, мы можем проанализировать его форму и свойства.

Уравнение эллипса

Общий вид уравнения эллипса в канонической форме выглядит следующим образом: (x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 = 1, если a > b, или (x - h)^2/b^2 + (y - k)^2/a^2 = 1, если b > a.

В данном случае у нас имеется уравнение 36x^2 + 100y^2 = 3600. Чтобы привести его к канонической форме, мы можем разделить обе части уравнения на 3600: x^2/100 + y^2/36 = 1.

Теперь мы видим, что коэффициенты перед x^2 и y^2 равны 1/100 и 1/36 соответственно. Поскольку 1/100 > 1/36, мы можем заключить, что это уравнение представляет собой эллипс.

Координаты фокусов и расстояние между ними

Для нахождения координат фокусов и расстояния между ними, мы можем использовать следующие формулы:

Для эллипса с каноническим уравнением (x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 = 1, фокусы находятся на оси x и имеют координаты (h ± c, k), где c = sqrt(a^2 - b^2).

В нашем случае, у нас есть уравнение x^2/100 + y^2/36 = 1. Сравнивая его с канонической формой, мы видим, что a^2 = 100 и b^2 = 36. Подставляя значения, мы получаем c = sqrt(100 - 36) = sqrt(64) = 8.

Таким образом, координаты фокусов будут (0 ± 8, 0), то есть (-8, 0) и (8, 0). Расстояние между фокусами равно 2c = 2 * 8 = 16.

Ответ

Таким образом, уравнение 36x^2 + 100y^2 = 3600 является уравнением эллипса. Координаты фокусов этого эллипса равны (-8, 0) и (8, 0), а расстояние между ними составляет 16.