Question

Постройте график функции: y=(x^2+1)*(x+2)/2-x. Определите,при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку

Answer 1

Для нахождения значений "k", при которых прямая y = kx имеет ровно одну общую точку с графиком функции y = (x^2 + 1) * (x + 2)/2 - x, мы должны найти точки пересечения между этой прямой и функцией. Для этого установим уравнение:

kx = (x^2 + 1) * (x + 2)/2 - x

Теперь решим это уравнение для "x". Сначала умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дробей:

2kx = (x^2 + 1) * (x + 2) - 2x

Раскроем скобки:

2kx = x^3 + 2x^2 + x + 2 - 2x

Упростим:

2kx = x^3 + 2x^2 + x

Теперь мы видим, что это уравнение имеет вид кубического уравнения, и его решение зависит от значения "k". Рассмотрим несколько случаев:

Если "k = 0", то уравнение превращается в 0 = 0, что не дает нам точек пересечения.
Если "k ≠ 0", то мы можем поделить обе стороны на "k":
2x = (x^3 + 2x^2 + x)/k

x = (x^3 + 2x^2 + x)/(2k)

Теперь, чтобы найти точки пересечения, решим уравнение x = (x^3 + 2x^2 + x)/(2k) для конкретных значений "k". Значения "k", при которых это уравнение имеет ровно одно решение, будут удовлетворять вашему условию.

Подставляя разные значения "k", можно найти такие, при которых уравнение имеет одно решение.

Answer 2

Для начала, построим график функции y = (x^2+1)*(x+2)/2 - x.

Для этого нужно выбрать несколько значений x, подставить их в функцию и полученные значения (x, y) отобразить на координатной плоскости.

Выберем значения для x, например: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Подставим эти значения в функцию:

Для x = -3: y = ((-3)^2+1)*(-3+2)/2 - (-3) = 28/2 + 3 = 17

Для x = -2: y = ((-2)^2+1)*(-2+2)/2 - (-2) = 3/2 + 2 = 5/2

Для x = -1: y = ((-1)^2+1)*(-1+2)/2 - (-1) = 1/2 + 1 = 3/2

Для x = 0: y = ((0)^2+1)*(0+2)/2 - 0 = 1

Для x = 1: y = ((1)^2+1)*(1+2)/2 - 1 = 7/2

Для x = 2: y = ((2)^2+1)*(2+2)/2 - 2 = 13/2

Для x = 3: y = ((3)^2+1)*(3+2)/2 - 3 = 22

Теперь отобразим полученные значения на графике:

| | * | * | * | * | |_______________________ -3 -2 -1 0 1 2 3

На графике видно, что функция имеет одну общую точку с прямой y = kx, когда эта прямая проходит через вершину параболы, то есть когда наклон прямой совпадает с наклоном касательной к параболе в вершине.

Таким образом, прямая y = kx имеет с графиком функции ровно одну общую точку, когда значение k равно наклону касательной к параболе в вершине.