Question

7. y(x-1)=x3 провести дослідження функцій

Answer 1

Ух=3 это не правтльно скорее всего

Answer 2

Давайте проведемо дослідження функції \(y(x) = \frac{x^3}{x-1}\) на дійсних числах. Для цього розглянемо такі аспекти:

1. Домен і область значень: Домен функції - це множина всіх можливих значень аргументу \(x\), для яких функція визначена без обмежень. У цьому випадку, функція \(y(x)\) визначена для всіх \(x\), окрім \(x = 1\), оскільки в знаменнику маємо \(x-1\), і дільник не може дорівнювати нулю. Тобто домен цієї функції - це всі дійсні числа, крім 1.

Область значень - це множина всіх можливих значень функції \(y(x)\). У цьому випадку, функція не обмежена, тобто може приймати будь-яке дійсне значення, крім нуля, бо \(x-1\) завжди відрізняється від нуля (за умови, що \(x\neq 1\)). Тобто область значень функції - це всі дійсні числа, крім 0.

2. Асимптоти: a) Горизонтальна асимптота: Для визначення горизонтальної асимптоти ми розглядаємо, як функція веде себе на безмежності. В цьому випадку, якщо \(x\) доростає до додатньої або від'ємної безмежності, то \(y(x)\) доростає до 0. Тобто горизонтальна асимптота функції - це вісь \(y = 0\).

b) Вертикальна асимптота: Вертикальна асимптота виникає там, де функція стає нескінченністю. У цьому випадку, вертикальна асимптота відбувається, коли \(x = 1\), бо в цьому випадку знаменник \(x-1\) стає нулем, і функція \(y(x)\) наближається до нескінченності. Тобто вертикальна асимптота - це вісь \(x = 1\).

3. Поведінка функції на інтервалах: a) Дослідимо знак функції \(y(x)\) на різних інтервалах: - Для \(x < 1\), \(x - 1\) від'ємний, і тому \(y(x)\) від'ємний. - Для \(x > 1\), \(x - 1\) додатній, і тому \(y(x)\) додатний. Тобто функція \(y(x)\) від'ємна на інтервалі \((-\infty, 1)\) і додатня на інтервалі \((1, \infty)\).

b) Знайдемо точку перетину з осью \(x\) (нульовий корінь): Поставимо \(y(x)\) у рівняння \(0 = \frac{x^3}{x-1}\) і розв'яжемо його: \[0 = \frac{x^3}{x-1}\] Це рівняння має розв'язок \(x = 0\). Тобто функція перетинає ось \(x\) у точці \(x = 0\).

c) Знайдемо точку перетину з осью \(y\) (значення \(y\) при \(x = 0\): Поставимо \(x = 0\) у функцію \(y(x)\): \[y(0) = \frac{0^3}{0-1} = 0\] Тобто функція перетинає ось \(y\) у точці \(y = 0\).

4. Похідні: a) Знайдемо похідну функції \(y(x)\) за правилою диференціювання дробу: \[y'(x) = \frac{(x-1) \cdot \frac{d}{dx}(x^3) - x^3 \cdot \frac{d}{dx}(x-1)}{(x-1)^2}\] \[y'(x) = \frac{(x-1) \cdot 3x^2 - x^3 \cdot 1}{(x-1)^2}\] \[y'(x) = \frac{3x^3 - x^3 - 3x^2}{(x-1)^2}\] \[y'(x) = \frac{2x^3 - 3x^2}{(x-1)^2}\]

b) Знайдемо точки, де похідна дорівнює нулю, щоб знайти можливі екстремуми. Розв'яжемо рівняння \(y