Question

Пожалуйста решите по методу Гаусса4X1-2X2-X3=1X1-X2-X3=22X1+3X3=-1​

Answer 1

Для решения этой системы линейных уравнений методом Гаусса, мы должны привести ее к упрощенной ступенчатой форме. Система уравнений, которую вы представили, выглядит следующим образом:

1. 4X1 - 2X2 - X3 = 1 2. X1 - X2 - X3 = 2 3. 2X1 + 3X3 = -1

Сначала добавим уравнение 2 к уравнению 1, чтобы избавиться от X3 в уравнении 1:

4X1 - 2X2 - X3 + (X1 - X2 - X3) = 1 + 2

Упростим:

5X1 - 3X2 = 3

Теперь наша система выглядит следующим образом:

1. 5X1 - 3X2 = 3 2. X1 - X2 - X3 = 2 3. 2X1 + 3X3 = -1

Теперь давайте умножим уравнение 2 на 2 и добавим его к уравнению 3, чтобы избавиться от X1 в уравнении 3:

2(X1 - X2 - X3) + (2X1 + 3X3) = 2(2) - 1

Упростим:

2X1 - 2X2 - 2X3 + 2X1 + 3X3 = 4 - 1

Сгруппируем подобные члены:

4X1 - 2X2 + X3 = 3

Теперь наша система имеет вид:

1. 5X1 - 3X2 = 3 2. X1 - X2 - X3 = 2 3. 4X1 - 2X2 + X3 = 3

Теперь мы можем применить метод Гаусса к этой системе. Начнем с первого уравнения:

1. 5X1 - 3X2 = 3

Добавим к этому уравнению 4 раза второе уравнение, чтобы избавиться от X1:

5X1 - 3X2 + 4(X1 - X2 - X3) = 3 + 4(2)

Упростим:

5X1 - 3X2 + 4X1 - 4X2 - 4X3 = 11

Сгруппируем подобные члены:

(5X1 + 4X1) + (-3X2 - 4X2) - 4X3 = 11

9X1 - 7X2 - 4X3 = 11

Теперь наша система имеет вид:

1. 9X1 - 7X2 - 4X3 = 11 2. X1 - X2 - X3 = 2 3. 4X1 - 2X2 + X3 = 3

Теперь рассмотрим третье уравнение. Выразим X3 из него:

3. 4X1 - 2X2 + X3 = 3

X3 = 3 - 4X1 + 2X2

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

2. X1 - X2 - (3 - 4X1 + 2X2) = 2

Упростим:

X1 - X2 - 3 + 4X1 - 2X2 = 2

Сгруппируем подобные члены:

( X1 + 4X1) + (-X2 - 2X2) - 3 = 2

5X1 - 3X2 - 3 = 2

Теперь наша система выглядит следующим образом:

1. 9X1 - 7X2 - 4X3 = 11 2. 5X1 - 3X2 - 3 = 2

Теперь мы можем решить эту систему методом Гаусса. Давайте начнем с первого уравнения. Умножим его на 5 и вычтем второе уравнение:

(5)(9X1 - 7X2 - 4X3) - (5X1 - 3X2 - 3) = (11)(5) - (2)(5)

Упростим:

45X1 - 35X2 - 20X3 - 5X1 + 3X2 + 3 = 55 - 10

Сгруппируем подобные члены:

(45X1 - 5X1) + (-35X2 + 3X2) - 20X3 + 3 = 45

40X1 - 32X2 - 20X3 + 3 = 45

Теперь у нас есть следующая система:

1. 40X1 - 32X2 - 20X3 + 3 = 45 2. 5X1 - 3X2 - 3 = 2

Теперь рассмотрим второе уравнение. Умножим его на 8 и вычтем первое уравнение:

(8)(5X1 - 3X2 - 3) - (40X1 - 32X2 - 20X3 + 3) = (2)(8) - (45)(8)

Упростим:

40X1 - 24X2 - 24 - 40X1 + 32X2 + 20X3 - 3 = 16 - 360

Сгруппируем подобные члены:

(-24X2 + 32X2) + 20X3 - 24 - 3 = -344

8X2 + 20X3 - 27 = -344

8X2 + 20X3 = -344 + 27

8X2 + 20X3 = -317

Теперь у нас есть следующая система:

1. 40X1 - 32X2 - 20X3 + 3 = 45 2. 8X2 + 20X3 = -317

Теперь давайте рассмотрим второе уравн