Question

Решить систему методом Гаусса (в ответе должно выйти 0;1;2) 2x1 + 3x2 - 2x3 = -1 3x1 - x2 + 2x3 = 3 4x1 + 2x2 - x3 = 0

Answer 1

Метод Жордана-Гаусса:
$\left[\begin{array}{ccc|c|c}2&3&-2&-1&:2\\3&-1&2&3&\\4&2&-1&0&\end{array}\right]\ \textgreater \ \left[\begin{array}{ccc|c|c}1&1,5&-1&-0,5&\downarrow\\3&-1&2&3&-3\\4&2&-1&0&-4\end{array}\right]\ \textgreater \ \\\ \textgreater \ \left[\begin{array}{ccc|c|c}1&1,5&-1&-0,5&\\0&-5,5&5&4,5&:-5,5\\0&-4&3&2&\end{array}\right]\ \textgreater \ \\\ \textgreater \ \left[\begin{array}{ccc|c|c}1&1,5&-1&-0,5&-1,5\\0&1&-\frac{10}{11}&-\frac{9}{11}&\updownarrow\\0&-4&3&2&4\end{array}\right]\ \textgreater$
$\left[\begin{array}{ccc|c|c}1&0&\frac{4}{11}&\frac{8}{11}&\\0&1&-\frac{10}{11}&-\frac{9}{11}&\\0&0&-\frac{7}{11}&-\frac{14}{11}&*-\frac{11}{7}\end{array}\right]\ \textgreater \ \left[\begin{array}{ccc|c|c}1&0&\frac{4}{11}&\frac{8}{11}&-\frac{4}{11}\\0&1&-\frac{10}{11}&-\frac{9}{11}&\frac{10}{11}\\0&0&1&2&\uparrow\end{array}\right]\ \textgreater \ \\\ \textgreater \ \left[\begin{array}{ccc|c|c}1&0&0&0&\\0&1&0&1&\\0&0&1&2&\end{array}\right]$
$\left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}\right]$

Answer 2

Для решения системы уравнений методом Гаусса, мы применим элементарные преобразования строк матрицы, чтобы привести ее к ступенчатому виду или к расширенной ступенчатой форме. Затем мы будем обратно подставлять значения переменных, чтобы найти конкретные значения неизвестных.

Дана система уравнений:

2x1 + 3x2 - 2x3 = -1 3x1 - x2 + 2x3 = 3 4x1 + 2x2 - x3 = 0

Мы можем записать данную систему в виде расширенной матрицы:

[ 2 3 -2 | -1 ] [ 3 -1 2 | 3 ] [ 4 2 -1 | 0 ]

Приведение матрицы к ступенчатому виду

1. Мы начнем с первого столбца и первой строки. Если элемент в этой позиции не равен нулю, то мы разделим всю строку на этот элемент, чтобы получить ведущую единицу.

[ 1 3/2 -1 | -1/2 ] [ 3 -1 2 | 3 ] [ 4 2 -1 | 0 ]

2. Теперь мы хотим сделать все элементы ниже ведущей единицы равными нулю. Для этого мы вычитаем из каждой строки первую строку, умноженную на соответствующий элемент ниже ведущей единицы.

[ 1 3/2 -1 | -1/2 ] [ 0 -11/2 5/2 | 9/2 ] [ 0 -2 3/2 | 2 ]

3. Затем мы повторяем шаги 1 и 2 для второй строки и второго столбца.

[ 1 3/2 -1 | -1/2 ] [ 0 1 -5/11 | -9/11 ] [ 0 0 17/11 | 28/11 ]

Теперь матрица находится в ступенчатом виде.

Обратная подстановка

Теперь мы можем обратно подставить значения неизвестных, начиная с последней строки и двигаясь вверх.

Из третьего уравнения, мы имеем:

17/11 * x3 = 28/11 x3 = 28/11 * 11/17 x3 = 2

Из второго уравнения, мы имеем:

x2 - (5/11) * x3 = -9/11 x2 - (5/11) * 2 = -9/11 x2 - 10/11 = -9/11 x2 = -9/11 + 10/11 x2 = 1/11

Из первого уравнения, мы имеем:

x1 + (3/2) * x2 - x3 = -1/2 x1 + (3/2) * (1/11) - 2 = -1/2 x1 + 3/22 - 2 = -1/2 x1 = -1/2 - 3/22 + 44/22 x1 = -11/22

Таким образом, решение системы уравнений методом Гаусса равно x1 = -11/22, x2 = 1/11, x3 = 2.