Question

Даю 30 баллов! Методом Гаусса исследовать совместимость и найти общее решение системы : x1+2x2+3x3+4x4=11, 2x1+3x2+4x3+x4=12, 3x1+4x2+X3+2x4=13, 4x1+X2+2x3+3x4=14.

Answer 1

Посмотрите предложенное решение, оформление адаптируйте под собственные требования.

Answer 2

Спасибо за баллы! Давайте рассмотрим вашу систему уравнений и решим ее методом Гаусса.

Исходная система уравнений:

1. x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 11
2. 2x1 + 3x2 + 4x3 + x4 = 12
3. 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 13
4. 4x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 14

Давайте представим систему в матричной форме [A | B], где A - матрица коэффициентов перед переменными, а B - столбец свободных членов:

A = | 1 2 3 4 | | 2 3 4 1 | | 3 4 1 2 | | 4 1 2 3 |

B = | 11 | | 12 | | 13 | | 14 |

Применим метод Гаусса для приведения матрицы A к ступенчатому виду:

1. Вычтем из второй строки первую, умноженную на 2: R2 = R2 - 2*R1

2. Вычтем из третьей строки первую, умноженную на 3: R3 = R3 - 3*R1

3. Вычтем из четвертой строки первую, умноженную на 4: R4 = R4 - 4*R1

Теперь матрица A выглядит следующим образом:

A = | 1 2 3 4 | | 0 -1 -2 -7 | | 0 -2 -8 -10| | 0 -7 -10 -13|

Продолжим процесс приведения к ступенчатому виду:

4. Поменяем местами вторую и третью строки: R2 <-> R3

5. Вычтем из третьей строки двукратную вторую строку: R3 = R3 - 2*R2

6. Вычтем из четвертой строки семикратную вторую строку: R4 = R4 - 7*R2

Теперь матрица A имеет вид:

A = | 1 2 3 4 | | 0 -1 -2 -7 | | 0 0 4 4 | | 0 5 4 0 |

Перенумеруем уравнения для удобства:

1. x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 11
2. -x2 - 2x3 - 7x4 = -12
3. 4x3 + 4x4 = 4
4. 5x2 + 4x3 = 5

Теперь перейдем к обратной подстановке:

Из уравнения 4 выразим x2: x2 = (5 - 4x3) / 5

Из уравнения 3 выразим x4: x4 = (4 - 4x3) / 4

Из уравнения 2 выразим x3: x3 = (x2 + 2x4 + 12) / -7

Из уравнения 1 выразим x1: x1 = 11 - 2x2 - 3x3 - 4x4

Таким образом, общее решение системы выглядит следующим образом:

x1 = 11 - 2x2 - 3x3 - 4x4 x2 = (5 - 4x3) / 5 x3 = (x2 + 2x4 + 12) / -7 x4 = (4 - 4x3) / 4

Где x2 и x3 - произвольные параметры.