Question

Решите систему методом Гаусса 5x₁-x₂-x₃=0 x₁+2x₂+3x₃=14 4x₁+3x₂+2x₃=16

Answer 1

$\left\{\begin{matrix}5x_{1} - x_{2} - x_{3} = 0 \ \ \ \\ x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} = 14 \\ 4x_{1} + 3x_{2} + 2x_{3} = 16 \end{matrix}\right.$

Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду при помощи элементарных преобразований матрицы, которые выполняются над строками:

$\bar{A} = \begin{pmatrix}5 -1 -1 \ | \ 0 \\ 1 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 3 \ | \ 14 \\ 4 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 2 \ | \ 16\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}5 -1 -1 \ | \ 0 \\ 16 -1 \ \ \ \ 0 \ | \ 14 \\ 14 \ \ \ 1 \ \ \ \ 0 \ | \ 16\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}5 -1 -1 \ | \ 0 \\ 16 -1 \ \ \ \ 0 \ | \ 14 \\ 30 \ \ \ 0 \ \ \ \ 0 \ | \ 30\end{pmatrix}$

Ранг матрицы: $\text{Rg} \ A = \text{Rg} \ \bar{A} = 3 = n,$ где $n$ - число неизвестных.

Система совместимая, значит, имеет единственное решение.

Ставим в соответствие расширенной матрице систему, эквивалентную выходной, решение которой совершаем снизу вверх:

$\left\{\begin{matrix}5x_{1} - x_{2} - x_{3} = 0\\ 16x_{1} - x_{2} = 14 \ \ \ \ \\ 30x_{1} = 30 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.$

$x_{1} = 1$

$16 - x_{2} = 14; \ x_{2} = 2$

$5 - 2 - x_{3} = 0; \ x_{3} = 3$

Ответ: $x_{1} = 1; \ x_{2} = 2; \ x_{3} = 3.$

Answer 2

Для решения данной системы методом Гаусса, мы будем преобразовывать уравнения системы, чтобы получить треугольную матрицу.

Исходная система уравнений:

1. 5x₁ - x₂ - x₃ = 0
2. x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 14
3. 4x₁ + 3x₂ + 2x₃ = 16

Шаг 1: Преобразование первого уравнения Мы можем умножить первое уравнение на 4 и добавить его ко второму уравнению для того, чтобы избавиться от переменной x₁. Умножим первое уравнение на 4: 4(5x₁ - x₂ - x₃) = 4(0) 20x₁ - 4x₂ - 4x₃ = 0

Полученная система после преобразования:

1. 20x₁ - 4x₂ - 4x₃ = 0
2. x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 14
3. 4x₁ + 3x₂ + 2x₃ = 16

Шаг 2: Преобразование второго уравнения Теперь мы можем умножить первое уравнение на 1/20 и вычесть его из второго уравнения для устранения переменной x₁. Умножим первое уравнение на 1/20: (1/20)(20x₁ - 4x₂ - 4x₃) = (1/20)(0) x₁ - (1/5)x₂ - (1/5)x₃ = 0

Вычтем полученное уравнение из второго уравнения: (x₁ + 2x₂ + 3x₃) - (x₁ - (1/5)x₂ - (1/5)x₃) = 14 - 0 x₁ + (11/5)x₂ + (16/5)x₃ = 14

Полученная система после преобразования:

1. 20x₁ - 4x₂ - 4x₃ = 0
2. x₁ + (11/5)x₂ + (16/5)x₃ = 14
3. 4x₁ + 3x₂ + 2x₃ = 16

Шаг 3: Преобразование третьего уравнения Мы можем умножить первое уравнение на 1/4 и вычесть его из третьего уравнения, чтобы избавиться от переменной x₁. Умножим первое уравнение на 1/4: (1/4)(20x₁ - 4x₂ - 4x₃) = (1/4)(0) 5x₁ - x₂ - x₃ = 0

Вычтем полученное уравнение из третьего уравнения: (4x₁ + 3x₂ + 2x₃) - (5x₁ - x₂ - x₃) = 16 - 0 -x₁ + 4x₂ + 3x₃ = 16

Полученная система после преобразования:

1. 20x₁ - 4x₂ - 4x₃ = 0
2. x₁ + (11/5)x₂ + (16/5)x₃ = 14
3. -x₁ + 4x₂ + 3x₃ = 16

Шаг 4: Решение системы Теперь система уравнений преобразована в треугольную матрицу:

1. 20x₁ - 4x₂ - 4x₃ = 0
2. x₁ + (11/5)x₂ + (16/5)x₃ = 14
3. -x₁ + 4x₂ + 3x₃ = 16

Мы можем решить эту систему методом обратного хода (обратным прогоном) для нахождения значений переменных.

Начнем с третьего уравнения: -(-x₁ + 4x₂ + 3x₃) = -16 x₁ - 4x₂ - 3x₃ = 16

Теперь имеем следующую систему:

1. 20x₁ - 4x₂ - 4x₃ = 0
2. x₁ + (11/5)x₂ + (16/5)x₃ = 14
3. x₁ - 4x₂ - 3x₃ = 16

Применяя обратный ход, мы можем выразить x₁ и x₂ через x₃.

Из третьего уравнения: x₁ = 4x₂ + 3x₃ + 16

Подставим x₁ во второе уравнение: (4x₂ + 3x₃ + 16) + (11/5)x₂ + (16/5)x₃ = 14 Упростим: (39/5)x₂ + (31/5)x₃ = -2

Таким образом, мы получили систему уравнений:

1. 20x₁ - 4x₂ - 4x₃ = 0
2. (39/5)x₂ + (31/5)x₃ = -2

Теперь можно решить эту систему методом подстановки или методом обратной матрицы для нахождения значений переменных x₁, x₂ и x₃.