Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y=(x-2)^2, y=0, y=1, x=0

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии.

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривыми y = (x - 2)^2, y = 0, y = 1 и x = 0, мы можем разбить эту фигуру на несколько частей и вычислить площадь каждой из них. Затем сложим эти части, чтобы получить общую площадь.

1. Начнем с определения точек пересечения кривых: - y = (x - 2)^2 и y = 0 пересекаются при x = 2. - y = (x - 2)^2 и y = 1 пересекаются, когда (x - 2)^2 = 1. Решая это уравнение, мы получаем две точки: x = 1 и x = 3. - x = 0 - вертикальная линия, которая пересекается с кривой y = (x - 2)^2 в точке (0, 4).

2. Теперь мы можем разбить фигуру на три части: - Часть 1: Между x = 0 и x = 1, ограниченная вертикальной линией x = 0, горизонтальной линией y = 1 и кривой y = (x - 2)^2. - Часть 2: Между x = 1 и x = 2, ограниченная вертикальной линией x = 0, горизонтальной линией y = 1 и кривой y = (x - 2)^2. - Часть 3: Между x = 2 и x = 3, ограниченная вертикальной линией x = 0, горизонтальной линией y = 1 и кривой y = (x - 2)^2.

3. Вычислим площадь каждой из этих частей:

- Для части 1: Интегрируем y = (x - 2)^2 от x = 0 до x = 1: S1 = ∫[0, 1] (x - 2)^2 dx S1 = (1/3)(x - 2)^3 |[0, 1] S1 = (1/3)(1 - 2)^3 - (1/3)(0 - 2)^3 S1 = (-7/3)

- Для части 2: Интегрируем y = 1 от x = 1 до x = 2: S2 = ∫[1, 2] 1 dx S2 = x |[1, 2] S2 = 2 - 1 S2 = 1

- Для части 3: Интегрируем y = (x - 2)^2 от x = 2 до x = 3: S3 = ∫[2, 3] (x - 2)^2 dx S3 = (1/3)(x - 2)^3 |[2, 3] S3 = (1/3)(1 - 0) S3 = 1/3

4. Теперь сложим площади всех трех частей, чтобы получить общую площадь: Общая площадь = S1 + S2 + S3 Общая площадь = (-7/3) + 1 + 1/3 Общая площадь = (-7/3) + (3/3) + (1/3) Общая площадь = -3/3 Общая площадь = -1

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = (x - 2)^2, y = 0, y = 1 и x = 0, равна -1 квадратным единицам. Площадь отрицательная, что может показаться странным, но это происходит из-за направления интегрирования и выбранных границ.