Question

Решить дифференциональное уравнение,допускающее понижение порядка x^2y"+xy'=1

Answer 1

Ответ:

Порядок производной указывается штрихами —y''' или числом после одного штриха —y'5

Ввод распознает различные синонимы функций, как asin, arsin, arcsin

Знак умножения и скобки раставляются дополнительно — запись2sinx сходна2*sin(x)

Список математических функций и констант:

•d(x) — дифференциал

•ln(x) — натуральный логарифм

•sin(x) — синус

•cos(x) — косинус

•tg(x) — тангенс

•ctg(x) — котангенс

•arcsin(x) — арксинус

•arccos(x) — арккосинус

•arctg(x) — арктангенс

•arcctg(x) — арккотангенс

•sh(x) — гиперболический синус

•ch(x) — гиперболический косинус

•th(x) — гиперболический тангенс

•cth(x) — гиперболический котангенс

•sch(x) — гиперболический секанс

•csch(x) — гиперболический косеканс

•arsh(x) — обратный гиперболический синус

•arch(x) — обратный гиперболический косинус

•arth(x) — обратный гиперболический тангенс

•arcth(x) — обратный гиперболический котангенс

•sec(x) — секанс

•cosec(x) — косеканс

•arcsec(x) — арксеканс

•arccsc(x) — арккосеканс

•arsch(x) — обратный гиперболический секанс

•arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс

•abs(x) — модуль

•sqrt(x) — корень

•exp(x) — экспонента в степени x

•pow(a,b) — ab

•sqrt7(x) — 7√x

•sqrt(n,x) — n√x

•log3(x) — log3(x)

•log(a,x) — loga(x)

•pi — π

alpha — α

beta — β

•sigma — σ

gamma — γ

nu — ν

•mu — μ

phi — ϕ

psi — ψ

•tau — τ

eta — η

rho — ρ

•a123 — a123

x_n — xn

mu11 — μ11

Пошаговое объяснение:

можешь этим пользоватся и все поймешь

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения `x^2y''+xy'=1`, где `y''` обозначает вторую производную функции `y` по `x`, а `y'` - первую производную, можно использовать метод замены.

В данном уравнении в явном виде не участвует переменная `x`. Подстановка здесь более замысловата. Первую производную `y'` заменим некоторой `u` (пока еще неизвестной функцией), которая зависит от `y`: `y' = u`. Обратите внимание, что функция `u` - это сложная функция. Внешняя функция – `z`, внутренняя функция – `y` .

Находим вторую производную. По правилу дифференцирования сложной функции получим: `y'' = u'z'`. В принципе, можно запомнить данную замену формально и коротко. Другой вопрос, что студентам часто не понятно, почему в замене такая странная вторая производная: `u'z'`, «совершенно же очевидно, что должно быть `u'`». А вот, оно, и не очевидно. Почему `u'z'`, я только что подробно прокомментировал .

Подставляем `u'` и `y''` в исходное уравнение, получаем уравнение с разделяющимися переменными: `x^2u'z' + xu = 1`. Если `u` - функция, зависящая от `y`, то первая производная в дифференциалах расписывается так: `u' = dy/dz`. Не допускаем машинальной ошибки – не пишем «привычное» `du/dy`!!! Как и в первом параграфе, константу целесообразно отстрелить незамедлительно, это значительно упростит дальнейшее интегрирование. Вторую константу тоже отстреливаем. Используя начальное условие `u(0) = y'(0)`, проводим подстановку `u = y'(x)/z(x)`, и решаем полученное уравнение .

Обратите внимание, что это общий подход к решению дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка. Конкретное решение зависит от конкретного уравнения и может потребовать дополнительных шагов или методов.