Question

Даю 30 баллов . Решить уравнение, допускающее понижение порядка x^3 * y'' + x^2 * y' = 1

Answer 1

Полагаем z=y', тогда уравнение примет вид x³*z'+x²*y-1=0, или z'+1/x*y-1/x³=0. Это обыкновенное ЛДУ 1-го порядка, решаем его заменой y=u*v, откуда y'=u'*v+u*v'. Уравнение запишется в виде u'*v+u*v'+u*v/x-1/x³=0, или v*(u'+u/x)+u*v'-1/x³=0. Так как одной из функций u или v мы можем распорядиться по произволу, то сделаем это c u и потребуем, чтобы она обращала в нуль выражение в скобках. Получаем уравнение du/dx=-u/x, или du/u=-dx/x. Интегрируя, находим ln/u/=-ln/x/=ln/1/x/. Отсюда u=1/x, и мы приходим к уравнению 1/x*v'=1/x³, или v'=dv/dx=1/*x². Тогда dv=dx/x². Интегрируя, находим v=-1/x+С1, откуда z=u*v=1/x*(-1/x+C1)=-1/x²+C1/x. Тогда y=∫z*dx=-∫dx/x²+C1*∫dx/x=1/x+C1*ln/x/+C2. Проверка: y'=-1/x²+C1/x, y''=2/x³ -C1/x², x³*y''+x²*y'=2-C1*x-1+C1*x=1=1, то есть решение удовлетворяет уравнению. Ответ: y=1/x+C1*ln/x/+C2.

Answer 2

Спасибо за предоставленные 30 баллов! Я помогу вам решить данное дифференциальное уравнение.

Для начала давайте предположим, что y(x) - это функция, зависящая от переменной x, и найдем производные первого и второго порядка этой функции.

1. Первая производная y': y'(x) = d(y(x))/dx

2. Вторая производная y'': y''(x) = d^2(y(x))/dx^2

Теперь подставим эти производные в уравнение и решим его:

x^3 * y'' + x^2 * y' = 1

x^3 * (d^2(y(x))/dx^2) + x^2 * (d(y(x))/dx) = 1

Теперь это уравнение можно решить методом переменных separable.

Давайте разделим на x^3 и получим:

(d^2(y(x))/dx^2) + (x * (d(y(x))/dx)) / x^3 = 1 / x^3

Теперь заменим d(y(x))/dx как новую переменную v:

v = d(y(x))/dx

Тогда уравнение примет вид:

dv/dx + x * v / x^3 = 1 / x^3

Теперь дифференциальное уравнение становится разрешенным, и мы можем проинтегрировать обе стороны. Рассмотрим левую сторону:

∫(dv/dx) dx + ∫(x * v / x^3) dx = ∫(1 / x^3) dx

∫dv = ∫(1 / x^2) dx

Теперь интегрируем обе стороны:

v = ∫(1 / x^2) dx

Для нахождения v проинтегрируем правую сторону:

v = ∫(x^(-2)) dx

v = -x^(-1) + C1

где C1 - константа интегрирования.

Теперь, когда у нас есть v, мы можем вернуться к y(x):

v = d(y(x))/dx

-d(x^(-1))/dx + C1 = d(y(x))/dx

-d(1/x)/dx + C1 = d(y(x))/dx

(d(1/x)/dx) - C1 = d(y(x))/dx

Теперь проинтегрируем обе стороны:

∫(d(1/x)/dx) dx - ∫C1 dx = ∫d(y(x))/dx dx

∫(d(1/x)/dx) dx - C1x = ∫d(y(x))/dx dx

Теперь интегрируем левую сторону:

∫(d(1/x)/dx) dx = ∫(-x^(-2)) dx

∫(d(1/x)/dx) dx = -1/x + C2

где C2 - вторая константа интегрирования.

Теперь у нас:

(-1/x + C2) - C1x = ∫d(y(x))/dx dx

Теперь проинтегрируем правую сторону:

∫d(y(x))/dx dx = -1/x + C2 - C1x

Теперь получаем выражение для y(x):

y(x) = ∫(-1/x + C2 - C1x) dx

y(x) = -∫(1/x) dx + ∫C2 dx - ∫(C1x) dx

y(x) = -ln|x| + C2x - (C1/2)x^2 + C3

где C2 и C3 - константы интегрирования.

Таким образом, общее решение уравнения:

y(x) = -ln|x| + C2x - (C1/2)x^2 + C3

Данное решение содержит три произвольные константы: C1, C2 и C3. Чтобы найти частное решение, необходимы дополнительные условия или ограничения.