Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции f (x)= x5 - 5x4 + 3 на отрезке [-1;1].

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

f(x) = x^5 - 5x^4 + 3

f(-1) = (-1)^5 - 5*(-1)^4 + 3 = -1 - 5 + 3 = -3

f(1) = 1^5 - 5*1^4 + 3 = 1 - 5 + 3 = -1

Находим экстремум. Приравниваем производную к 0

f'(x) = 5x^4 - 5*4x^3 = 5x^3*(x - 4) = 0

x1 = x2 = x3 = 0 € [-1; 1] - подходит.

x4 = 4 не € [-1; 1] - не подходит.

f(0) = 0 - 0 + 3 = 3

Наименьшее: f(-1) = -3

Наибольшее: f(0) = 3

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции \(f(x) = x^5 - 5x^4 + 3\) на отрезке \([-1;1]\), мы должны выполнить следующие шаги:

1. Найдем критические точки функции внутри интервала \([-1;1]\) и на его границах, а затем вычислим значения функции в этих точках.

2. Определим значения функции в концах интервала, то есть при \(x = -1\) и \(x = 1\).

3. Сравним все найденные значения, чтобы определить наибольшее и наименьшее значение функции на данном интервале.

Шаг 1: Найдем критические точки функции. Для этого найдем производную \(f'(x)\) и приравняем ее к нулю:

\[f(x) = x^5 - 5x^4 + 3\] \[f'(x) = 5x^4 - 20x^3\]

Теперь приравняем \(f'(x)\) к нулю и решим уравнение:

\[5x^4 - 20x^3 = 0\]

Факторизуем это уравнение:

\[5x^3(x - 4) = 0\]

Отсюда получаем два значения \(x\): \(x = 0\) и \(x = 4\).

Таким образом, у нас есть две критические точки внутри интервала \([-1;1]\): \(x = 0\) и \(x = 4\).

Шаг 2: Теперь найдем значения функции в концах интервала:

- При \(x = -1\), \(f(-1) = (-1)^5 - 5(-1)^4 + 3 = -1 - 5 + 3 = -3\). - При \(x = 1\), \(f(1) = 1^5 - 5(1)^4 + 3 = 1 - 5 + 3 = -1\).

Шаг 3: Теперь сравним все найденные значения:

- \(f(0) = 0^5 - 5(0)^4 + 3 = 3\) - \(f(4) = 4^5 - 5(4)^4 + 3 = 1024 - 320 + 3 = 707\) - \(f(-1) = -3\) - \(f(1) = -1\)

Самое большое значение функции на интервале \([-1;1]\) равно 707 и достигается при \(x = 4\), а наименьшее значение равно -3 и достигается при \(x = -1\).

Итак, наибольшее значение функции \(f(x)\) на отрезке \([-1;1]\) равно 707, а наименьшее значение равно -3.