Question

2xy dx=(1+x2) dy, y(0)=3​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

перепишем уравнение

$\displaystyle \frac{dy}{dx} =\frac{2xy}{1+x^2}$

поделим на у

$\displaystyle \frac{dy/dx}{y} =\frac{2x}{x^2+1}$

проинтегрируем по х

$\displaystyle \int {\frac{dy/dx}{y} } \, dx =\int {\frac{2x}{1+x^2} } \, dx$

получим

lny = ln(x² +1)+C

$\displaystyle y(x) = e^C(1+x^2)$

переназначим константы и получим

y(x) = C₁(1+x²)

теперь задача Коши

y(0) = 3

C₁(1+0²) = 3

C₁ =3

ответ

y(x) = 3(1+x²)

Answer 2

Это уравнение представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно решить методом разделения переменных. Давайте разберемся с этим уравнением подробно.

Уравнение:

2xy dx = (1 + x^2) dy

Для начала выразим все члены, содержащие x и y на одной стороне уравнения, а все члены, содержащие dx и dy на другой стороне:

2xy dx - (1 + x^2) dy = 0

Теперь разделим обе стороны уравнения на выражение, содержащее x и y:

(2xy - (1 + x^2)) dx - (2xy - (1 + x^2)) dy = 0

Мы видим, что выражение (2xy - (1 + x^2)) можно вынести за скобки:

(2xy - (1 + x^2))(dx - dy) = 0

Далее, мы можем разделить обе стороны уравнения на (2xy - (1 + x^2)), при условии, что это выражение не равно нулю:

(dx - dy) / (2xy - (1 + x^2)) = 0

Теперь это уравнение разделено на две доли, и они равны между собой. Заметим, что левая часть уравнения (dx - dy) / (2xy - (1 + x^2)) может быть представлена в виде полного дифференциала:

d(x - y) / (2xy - (1 + x^2)) = 0

Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны уравнения:

∫d(x - y) / (2xy - (1 + x^2)) = ∫0

Интеграл от нуля равен константе, поэтому:

∫d(x - y) / (2xy - (1 + x^2)) = C

Теперь, чтобы решить это уравнение, мы можем выразить d(x - y) в числителе:

d(x - y) = C(2xy - (1 + x^2))

Интегрируя обе стороны:

∫d(x - y) = ∫C(2xy - (1 + x^2)) dx

x - y = C∫(2xy - (1 + x^2)) dx

Теперь мы можем вычислить интеграл:

x - y = C(x^2y - (1/2)x^3) + K

где K - константа интеграции.

Теперь, чтобы найти значение константы K, используем начальное условие y(0) = 3:

0 - 3 = C(0*2*3 - (1/2)*0^3) + K -3 = 0 + K K = -3

Таким образом, уравнение будет иметь вид:

x - y = C(x^2y - (1/2)x^3) - 3

Это общее решение вашего дифференциального уравнения. Вы можете выбрать конкретное значение константы C, если имеются дополнительные начальные условия, чтобы найти частное решение.