Question

На доске написаны числа 1 и 3. Каждую минуту Вася заменяет одно из чисел на их среднее арифметическое, а другое — на их среднее гармоническое. Однажды на доске появилось число 32592/18817. Чему в этот момент было равно второе число? В качестве ответа введите обыкновенную дробь (не обязательно несократимую).​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Среднее арифметическое чисел а и b равно:

  (a + b)/2

Среднее гармоническое равно:

  2 /(1/a + 1/b) = 2 : (a+ b)/ab = 2ab /(a + b)

Перемножим среднее арифметическое и среднее гармоническое:

(a + b)/2 * 2ab/(a + b) = ab

При а= 1 и b =3  ab = 3, т.е. произведение двух чисел =3

Пусть х - искомое число, тогда

(32592/18817) * х  = 3, откуда

х = 3 : 32592/18817 = 3 *18817 / 32592 = 18817/10864

Answer 2

Среднее арифметическое двух чисел — это число, равное половине их суммы. Среднее гармоническое двух чисел — это число, равное обратному к среднему арифметическому их обратных. Например, среднее арифметическое 1 и 3 равно (1 + 3) / 2 = 2, а среднее гармоническое 1 и 3 равно 2 / (1/1 + 1/3) = 12/7.

Если Вася заменяет одно из чисел на их среднее арифметическое, а другое — на их среднее гармоническое, то он не меняет произведение этих чисел. Действительно, пусть числа на доске равны a и b, тогда их произведение равно ab. После замены числа станут (a + b) / 2 и 2ab / (a + b), а их произведение равно ((a + b) / 2) * (2ab / (a + b)) = ab. Значит, произведение чисел на доске остается постоянным и равным 1 * 3 = 3.

Если однажды на доске появилось число 32592/18817, то второе число можно найти, зная, что их произведение равно 3. Пусть второе число равно x, тогда 32592/18817 * x = 3, откуда x = 3 * 18817 / 32592 = 56451/32592. Ответ: 56451/32592.