Question

На доске написаны числа 1 и 2. Каждую минуту Вася заменяет одно из чисел на их среднее арифметическое, а другое — на их среднее гармоническое. Однажды на доске появилось число 961664/665857. Чему в этот момент равно второе число? Приведите его к несократимому виду и впишите его числитель в первое поле, а знаменатель — во второе.

Answer 1

Среднее арифметическое   (a + b)/2

Среднее  гармоническое ((1/a +1/b)/2)^-1 = ((a + b)/2ab)^-1 = 2ab/(a + b)

a = 1   b = 2

перемножим  (a + b)/2 * 2ab/(a + b) = ab ( = 1* 2 = 2)

значит

961664/665857 * x = 2

x = 2 :  961664/665857 = 2 * 665857/961664 = 665857/480832

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, мы можем представить процесс замены чисел на доске в виде последовательности чисел и применить алгебраические операции для нахождения значения второго числа.

Обозначим числа на доске в моменты времени t как a(t) и b(t). Изначально a(0) = 1, а b(0) = 2.

На каждом шаге Вася заменяет одно число на среднее арифметическое (сумма деленная на 2) и другое число на среднее гармоническое (обратное значение среднего арифметического инвертированное).

Итак, для каждого t мы имеем: a(t+1) = (a(t) + b(t)) / 2 --- (1) b(t+1) = 2 / (1/a(t) + 1/b(t)) --- (2)

Мы знаем, что при t=0 a(0) = 1 и b(0) = 2. Мы также знаем, что a(t+1) = 961664/665857.

Используя эти данные, мы можем решить уравнение (1) относительно b(t) и подставить его в уравнение (2).

1. Подставим a(t+1) = 961664/665857 в уравнение (1): 961664/665857 = (1 + b(t)) / 2 2 * 961664/665857 = 1 + b(t) 1923328/665857 - 1 = b(t) (1923328 - 665857)/665857 = b(t) 1257471/665857 = b(t)

2. Подставим полученное значение b(t) = 1257471/665857 в уравнение (2): b(t+1) = 2 / (1/a(t) + 1/(1257471/665857)) b(t+1) = 2 / (1/a(t) + 665857/1257471) b(t+1) = 2 / ((1257471 + 665857 * a(t))/(1257471 * a(t))) b(t+1) = 2 * (1257471 * a(t))/(1257471 + 665857 * a(t))

Теперь мы знаем, что b(t+1) равно 2 * (1257471 * a(t))/(1257471 + 665857 * a(t)) и что a(t) = 1.

Подставим a(t) = 1 в уравнение для b(t+1): b(t+1) = 2 * (1257471 * 1)/(1257471 + 665857 * 1) b(t+1) = 2 * 1257471 / (1923328) b(t+1) = 2514942 / 1923328

Таким образом, в момент появления числа 961664/665857 второе число на доске равно 2514942/1923328. Данное число можно привести к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель:

2514942/1923328 = (2 * 1257471)/(2 * 961664) 2514942/1923328 = 1257471/961664

Таким образом, числитель равен 1257471, а знаменатель равен 961664.