Question

4.Решите дифуравнение у ́=2у+3 с разделяющимися переменными

Answer 1

Ответ:

$y=\dfrac{\pm e^{2(x+C)}-3}{2} \quad , \quad C-const;$

Пошаговое объяснение:

$y'=2y+3;$

$\dfrac{dy}{dx}=2y+3;$

$dy=(2y+3)dx;$

$\dfrac{dy}{2y+3}=dx;$

$\int\ {\dfrac{dy}{2y+3}} \, = \int {} \, dx ;$

$dy=d(1 \cdot y)=d \bigg (\dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot y \bigg )=\dfrac{1}{2} \cdot d \bigg (2 \cdot y \bigg )=\dfrac{1}{2}d(2y)=\dfrac{1}{2}d(2y+3);$

$\dfrac{1}{2}\int\ {\dfrac{d(2y+3)}{2y+3}} \, = x+C, \quad C-const;$

$\dfrac{1}{2}ln|2y+3|=x+C, \quad C-const;$

$ln|2y+3|=2(x+C), \quad C-const;$

$e^{ln|2y+3|}=e^{2(x+C)}, \quad C-const;$

$|2y+3|=e^{2(x+C)}, \quad C-const;$

$2y+3=\pm e^{2(x+C)}, \quad C-const;$

$2y=\pm e^{2(x+C)}-3, \quad C-const;$

$y=\dfrac{\pm e^{2(x+C)}-3}{2} \quad , \quad C-const;$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, нам нужно выразить переменные y и x отдельно и затем проинтегрировать обе части уравнения.

Уравнение имеет вид: y' = 2y + 3.

Для начала, выразим переменные y и x отдельно. Перенесем все члены, содержащие y, на одну сторону уравнения:

y' - 2y = 3.

Теперь у нас есть уравнение с разделяющимися переменными. Мы можем разделить его на две части:

(y' - 2y) / (3) = 1.

Теперь проинтегрируем обе части уравнения. Интеграл от левой части будет зависеть от переменной y, а интеграл от правой части будет зависеть от переменной x:

∫(y' - 2y) / (3) dy = ∫1 dx.

Вычислим интегралы:

(1/3) ∫(y' - 2y) dy = ∫1 dx.

(1/3) (y^2/2 - 2y) = x + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь мы можем решить полученное уравнение относительно y:

y^2/2 - 2y = 3x + 3C.

y^2 - 4y = 6x + 6C.

y^2 - 4y - 6x - 6C = 0.

Это квадратное уравнение относительно y. Мы можем решить его, используя квадратное уравнение или другие методы решения квадратных уравнений.

Решение квадратного уравнения:

Для решения квадратного уравнения y^2 - 4y - 6x - 6C = 0, мы можем использовать квадратное уравнение вида y^2 + py + q = 0, где p = -4 и q = -6x - 6C.

Для нахождения корней квадратного уравнения, мы можем использовать формулу дискриминанта:

D = p^2 - 4q.

D = (-4)^2 - 4(-6x - 6C).

D = 16 + 24x + 24C.

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

y = (-p ± √D) / 2.

y = (4 ± √(16 + 24x + 24C)) / 2.

y = 2 ± √(4 + 6x + 6C).

Таким образом, решение дифференциального уравнения y' = 2y + 3 с разделяющимися переменными имеет вид:

y = 2 ± √(4 + 6x + 6C).

Где C - произвольная постоянная интегрирования.

Answer 3

Для решения данного дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, мы будем перемещать все выражения, содержащие y, на одну сторону и все выражения, содержащие x, на другую сторону. Затем мы проинтегрируем обе стороны уравнения относительно соответствующих переменных.

В данном уравнении у' = 2y + 3, мы перемещаем все выражения, содержащие y, на одну сторону, а все выражения, содержащие x, на другую сторону. Это дает нам:

dy/(2y + 3) = dx

Затем мы интегрируем обе стороны уравнения относительно соответствующих переменных. Для левой стороны, мы интегрируем по переменной y, а для правой стороны, мы интегрируем по переменной x. Интеграл левой стороны примет следующий вид:

∫(1)/(2y + 3) dy

Для вычисления этого интеграла используем замену переменной. За u примем 2y + 3. Тогда du/dy = 2 и dy = du/2. Подставим это выражение в интеграл:

(1/2)∫(1)/u du

Теперь мы можем интегрировать правую сторону уравнения. Интеграл 1/u равен логарифму натуральному от |u|, поэтому продолжим:

(1/2)ln|u|

Чтобы получить решение исходного уравнения, нам нужно выразить u в терминах y. Заменяя u обратно, получим:

(1/2)ln|2y + 3|

Теперь мы решаем правую сторону уравнения, интегрируя по переменной x:

∫dx = x + C, где С - постоянная интегрирования.

В итоге получим:

(1/2)ln|2y + 3| = x + C

где C - произвольная постоянная.

Это является общим решением данного дифференциального уравнения.