Question

СРОЧНО!!! Последовательность `(x_n)`, такая что все `x_n>1`. Верно ли, что если `(x_n)` сходится к числу `a`, то `a>1`? Ответ обоснуйте.

Answer 1

Ответ: нет.

Пошаговое объяснение:

Возьмём х_n=1+(1/loglog(n!)). Она монотоннно убывает, стремится к 1, но все члены последовательности строго больше 1.

Answer 2

Предположим, что последовательность (x_n) сходится к числу a, но a ≤ 1.

По определению сходимости последовательности, для любого положительного числа ε существует такой индекс N, начиная с которого все члены последовательности (x_n) попадают в интервал (a - ε, a + ε).

В данном случае, если a ≤ 1, то интервал (a - ε, a + ε) будет содержать значения из отрицательной полуоси.

Однако, по условию все члены последовательности (x_n) больше 1. Значит, нет возможности, чтобы значения последовательности попадали в интервал (a - ε, a + ε), содержащий отрицательные числа.

Таким образом, предположение о том, что a ≤ 1, должно быть неверным.

Отсюда следует, что если последовательность (x_n) сходится к числу a, то a > 1.