Question

35. Найдите число диагоналей, выходящих из одной вершины выпуклого многоугольника, имеющего20 диагоналей.​

Answer 1

Ответ:

5

Пошаговое объяснение:

Пусть у многоугольниеа М вершин.

Каждая вершина Порождает (М-2) диагонали.

Тогда общее число диагоналей М*(М-3)/2 (т.к. диагонали при перемножении учитываются дважды).

Действительно  у треугольника 0 диагоналей у четырехугольника 2 диагонали, и т.д.

М*(М-3)=40  М=8

Значит искомое число М-3=5

Answer 2

Для нахождения числа диагоналей, выходящих из одной вершины выпуклого многоугольника, можно воспользоваться формулой:

D = n * (n-3) / 2,

где D - число диагоналей, n - количество вершин многоугольника.

В заданном случае, из условия известно, что многоугольник имеет 20 диагоналей. Заменяем в формуле эту величину:

20 = n * (n-3) / 2.

Решим данное уравнение для n:

20 * 2 = n * (n-3),

40 = n^2 - 3n,

n^2 - 3n - 40 = 0.

Факторизуем это квадратное уравнение:

(n-8)(n+5) = 0,

n-8 = 0 или n+5 = 0.

Отсюда получаем два значения n: n1 = 8 и n2 = -5. Отрицательное значение не может быть количеством вершин многоугольника, поэтому отбрасываем n2.

Таким образом, количество вершин многоугольника равно n1 = 8.

Подставляем найденное значение в формулу для числа диагоналей:

D = n * (n-3) / 2 = 8 * (8-3) / 2 = 8 * 5 / 2 = 40 / 2 = 20.

Получили, что число диагоналей, выходящих из одной вершины многоугольника, равно 20.