Question

Доказать, что число `3^(60)+1` делится на `82`. Помогите, пожалуйста, срочно

Answer 1

Ответ:

3^60 + 1

82 = 3^4 + 1

3^60 + 1 = 81^15 + 1 = (81 + 1)(81^14-81^13+81^12-..+1)

81 + 1 = 82, поэтому 3^60 делится на 82

(при таком разложении все степени, кроме 15 и 0, сократятся, поэтому это выражение равно 81^15 + 1 = 3^60 + 1)

Answer 2

Для доказательства, что число `3^60 + 1` делится на 82, мы можем воспользоваться теорией остатков и модулярной арифметикой.

Модулярная арифметика

Модулярная арифметика изучает остатки от деления чисел на заданное число, называемое модулем. Обозначается она символом `%`. Например, остаток от деления числа `a` на `b` можно записать как `a % b`.

Доказательство

Для доказательства, что число `3^60 + 1` делится на 82, мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Заметим, что 82 = 2 * 41. 2. Рассмотрим остатки от деления числа `3^60` на 2 и 41. 3. Для остатка от деления на 2, заметим, что `3^60` является четным числом, так как 3 возводится в четную степень. Следовательно, остаток от деления `3^60` на 2 равен 0. 4. Для остатка от деления на 41, воспользуемся малой теоремой Ферма. Она утверждает, что если `a` и `p` взаимно просты (то есть не имеют общих делителей, кроме 1), то `a^(p-1)` имеет остаток 1 при делении на `p`. В нашем случае, `3` и `41` взаимно просты, поэтому `3^40` имеет остаток 1 при делении на 41. Таким образом, `3^60` также имеет остаток 1 при делении на 41. 5. Теперь мы можем выразить `3^60 + 1` в виде `(3^60 % 2) + (3^60 % 41)`. Поскольку остаток от деления `3^60` на 2 равен 0, мы можем упростить это выражение до `0 + (1 % 41)`, что равно 1. 6. Получили, что `3^60 + 1` имеет остаток 1 при делении на 82. 7. Следовательно, число `3^60 + 1` делится на 82.

Итак, мы доказали, что число `3^60 + 1` делится на 82.