Question

Даны точки А(2;0;1), В(4;-1;3), С(4;-1;3). Найдите косинус внутреннего угла при вершине B треугольника ABC

Answer 1

Определить длины всех трёх сторон треугольника, а затем по теореме косинусов рассчитать угол АВС.
НАПРИМЕР: АВ^2 = 0 + (-2 + 4)^2 + (1 – 2)^2 = 0 + 4 + 1 = 5 => АВ = ✔️5; и т. д.

Answer 2

Для того чтобы найти косинус внутреннего угла при вершине B треугольника ABC, нужно использовать следующую формулу для вычисления косинуса угла между двумя векторами:

\[ \cos(\theta) = \frac{{\vec{AB} \cdot \vec{BC}}}{{|\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}|}} \]

Где: - \(\vec{AB}\) - вектор, направленный от точки A к точке B. - \(\vec{BC}\) - вектор, направленный от точки B к точке C. - \(\cdot\) - обозначает скалярное произведение векторов. - \(|\vec{AB}|\) - длина вектора AB. - \(|\vec{BC}|\) - длина вектора BC.

Сначала найдем векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC\):

1. Вектор \(\vec{AB}\) можно найти, вычтя координаты точки A из координат точки B: \[ \vec{AB} = \begin{bmatrix} 4 - 2 \\ -1 - 0 \\ 3 - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} \]

2. Вектор \(\vec{BC}\) можно найти, вычтя координаты точки B из координат точки C: \[ \vec{BC} = \begin{bmatrix} 4 - 4 \\ -1 - (-1) \\ 3 - 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]

Теперь найдем длины векторов \(|\vec{AB}|\) и \(|\vec{BC}|\). Для этого используется формула для длины вектора:

\[ |\vec{V}| = \sqrt{V_x^2 + V_y^2 + V_z^2} \]

Где \(\vec{V}\) - вектор с компонентами \(V_x\), \(V_y\), и \(V_z\).

1. Длина вектора \(\vec{AB}\): \[ |\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 \]

2. Длина вектора \(\vec{BC}\): \[ |\vec{BC}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{0} = 0 \]

Теперь, подставив найденные значения в формулу для косинуса угла \(\theta\) между векторами, получим:

\[ \cos(\theta) = \frac{{\vec{AB} \cdot \vec{BC}}}{{|\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}|}} = \frac{{\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}}{{3 \cdot 0}} \]

Так как знаменатель равен нулю, то косинус угла не существует, и угол между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\) не определен. Это означает, что треугольник ABC является вырожденным (то есть, он не имеет площади) или две стороны треугольника лежат на одной прямой.