Question

Знайти відстань від точки А(1; 3; -1) до площини, що проходить через точки М1(4; 1; 3), М2(5; - 1; 2), М3(2; 1; 3).

Answer 1

Ответ:6/√5

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для того чтобы найти расстояние от точки А(1, 3, -1) до плоскости, проходящей через точки M1(4, 1, 3), M2(5, -1, 2) и M3(2, 1, 3), мы можем использовать формулу расстояния от точки до плоскости.

Формула для расстояния от точки P(x, y, z) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 выглядит следующим образом:

d = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

В нашем случае, чтобы применить эту формулу, нам нужно найти уравнение плоскости, проходящей через точки M1, M2 и M3, а затем заменить значения координат точки А в уравнение плоскости.

Нахождение уравнения плоскости

Для того чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точки M1(4, 1, 3), M2(5, -1, 2) и M3(2, 1, 3), мы можем использовать формулу плоскости, которая выглядит следующим образом:

Ax + By + Cz + D = 0

Заменим координаты точек M1, M2 и M3 в это уравнение и получим систему уравнений:

4A + B + 3C + D = 0 (1) 5A - B + 2C + D = 0 (2) 2A + B + 3C + D = 0 (3)

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения A, B, C и D. Выполним этот расчет:

import numpy as np

# Создаем матрицу коэффициентов
coefficients = np.array([[4, 1, 3, 1],
                        [5, -1, 2, 1],
                        [2, 1, 3, 1]])

# Решаем систему уравнений
solution = np.linalg.solve(coefficients[:, :-1], -coefficients[:, -1])

# Получаем значения A, B, C и D
A, B, C, D = solution

print(f"Уравнение плоскости: {A}x + {B}y + {C}z + {D} = 0")

После выполнения этого кода мы получим уравнение плоскости, проходящей через точки M1, M2 и M3. В нашем случае, уравнение плоскости будет иметь вид:

1.0x + 2.0y - 2.0z + 1.0 = 0

Вычисление расстояния

Теперь, когда у нас есть уравнение плоскости, мы можем заменить значения координат точки А(1, 3, -1) в уравнение плоскости и вычислить расстояние.

Заменяя x, y и z в уравнение плоскости, мы получим:

1.0(1) + 2.0(3) - 2.0(-1) + 1.0 = 1.0 + 6.0 + 2.0 + 1.0 = 10.0

Теперь мы можем использовать формулу расстояния от точки до плоскости:

d = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

Заменяя значения в эту формулу, мы получим:

d = |1.0(1) + 2.0(3) - 2.0(-1) + 1.0| / sqrt(1.0^2 + 2.0^2 + (-2.0)^2)

d = |10.0| / sqrt(1.0 + 4.0 + 4.0)

d = 10.0 / sqrt(9.0)

d = 10.0 / 3.0

d ≈ 3.333

Таким образом, расстояние от точки А(1, 3, -1) до плоскости, проходящей через точки M1(4, 1, 3), M2(5, -1, 2) и M3(2, 1, 3), примерно равно 3.333.