Question

Исследовать функцию и построить её график y=x^3/x^2+x-6

Answer 1

Ответ:

Решение задачи:

Область определения: вся числовая ось.

1) Найдем точки пересечения с осью координат X (то есть с осью абсцисс). Для этого переменную y приравняем к нулю: y = 0.

x^3 – 6 * x^2 = 0.

Вынесем x^2 за скобку:

x^2 * (x – 6) = 0;

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

x^2 = 0 или x – 6 = 0;

x = 0 или x = 6.

Точки (0; 0), (6; 0) – точки пересечения с осью 0X.

2) График функции пересекает ось ординат, когда x = 0.

y = 0^3 – 6 * 0^2;

y = 0.

Точка (0; 0) – точка пересечения с осью 0Y.

3) Для нахождения экстремумов функции необходимо найти производную и приравнять ее к нулю.

y’ = (x^3 – 6 * x^2)’ = 0;

3 * x^2 – 12 * x = 0;

x = 0 или x = 4.

y(0) = 0.

y(4) = - 32.

(0; 0) и (4; - 32) – экстремумы функции.

4) Проверка на четность (нечётнос ть):

y(- x) = (- x)^3 – 6 * (- x)^2 = - x^3 – 6 * x.

Следовательно, функция ни четная ни нечетная.

5) Функция убывает на промежутках: ( - оо; 0] и [4; + оо).

Убывает на [0; 4].

6) Точки перегиба:

y’’ = 0;

(x^3 – 6 * x^2)’’ = 0;

6 * x – 12 = 0;

x = 2 – точка перегиба.

Функция вогнута на [2; + оо) и выгнута на (- оо; 2].

Пошаговое объяснение:

Всего хорошего, бро

Answer 2

Конечно, функция \( y = \frac{x^3}{x^2 + x - 6} \) представляет собой рациональную функцию, то есть отношение двух многочленов. Давайте разберемся с её анализом и построим график.

1. Нахождение области определения:

Областью определения функции являются значения \( x \), для которых знаменатель не равен нулю (поскольку деление на ноль невозможно). Таким образом, решим уравнение \(x^2 + x - 6 = 0\) для нахождения корней:

\[x^2 + x - 6 = 0\]

Факторизуем:

\((x + 3)(x - 2) = 0\)

Отсюда получаем два корня: \(x = -3\) и \(x = 2\).

Таким образом, областью определения функции является множество всех рациональных чисел, кроме \(x = -3\) и \(x = 2\).

2. Нахождение точек пересечения с осями координат:

Чтобы найти пересечения с осями координат, подставим \(y = 0\) для оси \(x\) и \(x = 0\) для оси \(y\):

При \(y = 0\), уравнение становится:

\[\frac{x^3}{x^2 + x - 6} = 0\]

Это возможно, только если числитель равен нулю: \(x^3 = 0 \rightarrow x = 0\).

При \(x = 0\), уравнение становится:

\[y = \frac{0}{0 + 0 - 6} = 0\]

Таким образом, у функции есть точка пересечения с осью \(x\) в \(x = 0\) и с осью \(y\) в \(y = 0\).

3. Анализ поведения функции:

Давайте рассмотрим поведение функции в окрестности найденных точек \(x = -3\) и \(x = 2\). Для этого проведем анализ знаков функции в этих интервалах и окрестностях.

- Интервал между \(x = -3\) и \(x = 2\): Выберем тестовые точки, например, \(x = 0, x = -4, x = 1\) для определения поведения функции на этом интервале.

Если подставить эти значения в функцию, можно увидеть знаки функции в соответствующих интервалах.

- Интервал до \(x = -3\): Выберем \(x = -4\) и \(x = -2\) для анализа знака функции на этом интервале.

4. Построение графика:

На основе проведенного анализа и вычислений построим график функции \(y = \frac{x^3}{x^2 + x - 6}\). Для визуализации графика, используем программы для построения графиков или графические калькуляторы.

График поможет визуально увидеть форму и особенности функции, такие как точки пересечения с осями координат, асимптоты (если есть), область определения и т.д.

Этот процесс позволит лучше понять поведение функции и её характеристики на интересующих нас участках.