Question

11 . Назовём высотой натурального числа N наибольшее возможное n, при котором уравнениеN=x1x2...xnразрешимо в целых числах xi≥2. Сколько существует чисел максимальной высоты, не превосходящих 1005?Ответ: существует чисел.12. Реши следующие уравнения в натуральных числах n и k:а) 1!+...+n!=(1!+...+k!)2; б) 1!+...+n!=(1!+...+k!)4, где n!=1⋅2⋅...⋅n.Ответ:а) n=,k=;n=,k=;б) n=,k=

Answer 1

Ответ:

11.  35

12. а) 12, 18, 88, 52

     б) 10, 8

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для начала рассмотрим первое уравнение:

а) 1! + ... + n! = (1! + ... + k!)^2, где n! = 1 * 2 * ... * n.

Подставим значения факториалов и раскроем скобки:

1 + 2! + ... + n! = (1 + 2! + ... + k!)^2.

Заметим, что на левой стороне сумма факториалов всегда будет увеличиваться, поскольку каждое новое слагаемое будет больше предыдущего. Также заметим, что суммы факториалов всегда будут больше 1.

Таким образом, для равенства обеих сторон уравнения, необходимо и достаточно, чтобы (1 + 2! + ... + k!)^2 было больше либо равно 1 + 2! + ... + n!.

Таким образом, чтобы выполнялось данное уравнение, достаточно выбрать значения n и k так, чтобы (1 + 2! + ... + k!)^2 было больше либо равно 1 + 2! + ... + n!, и наибольшее возможное такое n будет числом максимальной высоты.

Теперь рассмотрим второе уравнение:

б) 1! + ... + n! = (1! + ... + k!)^4, где n! = 1 * 2 * ... * n.

Аналогично первому уравнению, подставим значения факториалов и раскроем скобки:

1 + 2! + ... + n! = (1 + 2! + ... + k!)^4.

Также здесь справедливо то же самое рассуждение: для равенства обеих сторон уравнения, необходимо и достаточно, чтобы (1 + 2! + ... + k!)^4 было больше либо равно 1 + 2! + ... + n!.

И аналогично, чтобы выполнялось это уравнение, достаточно выбрать значения n и k так, чтобы (1 + 2! + ... + k!)^4 было больше либо равно 1 + 2! + ... + n!, и наибольшее возможное такое n будет числом максимальной высоты.

Стоит отметить, что для каждого из уравнений может существовать несколько пар значений n и k, удовлетворяющих условию задачи.