Question

Помогите пожалуйста решить однородное дифференциальное уравнение Срочноо нужно 4xy'=y lnx- y lny

Answer 1

$4xy'=y \ln x- y\ln y$

$4xy'=y (\ln x- \ln y)$

$4xy'=y \ln \dfrac{x}{y}$

$4\cdot\dfrac{x}{y}\cdot y'= \ln \dfrac{x}{y}$

Замена:

$\dfrac{y}{x} =t$

$\Rightarrow y =tx$

$\Rightarrow y'=t'x+tx'=t'x+t$

Получаем уравнение:

$4\cdot\dfrac{1}{t}\cdot (t'x+t)= \ln \dfrac{1}{t}$

$4\cdot\dfrac{1}{t}\cdot (t'x+t)= -\ln t$

$4 (t'x+t)= -t\ln t$

$4 t'x+4t= -t\ln t$

$\dfrac{4xdt}{dx} =-t\ln t-4t$

$\dfrac{4dt}{t\ln t+4t} =-\dfrac{dx}{x}$

$\int\dfrac{4dt}{t\ln t+4t} =-\int\dfrac{dx}{x}$

$4\int\dfrac{dt}{t(\ln t+4)} =-\int\dfrac{dx}{x}$

$4\int\dfrac{d(\ln t)}{\ln t+4} =-\int\dfrac{dx}{x}$

$4\int\dfrac{d(\ln t+4)}{\ln t+4} =-\int\dfrac{dx}{x}$

$4\ln|\ln t+4| =-\ln|x|+\ln C$

$\ln(\ln t+4)^4 =\ln\dfrac{C}{x}$

$(\ln t+4)^4 =\dfrac{C}{x}$

Обратная замена:

$\boxed{\left(\ln \dfrac{y}{x} +4\right)^4 =\dfrac{C}{x}}$ - общий интеграл уравнения

Answer 2

Давайте решим данное однородное дифференциальное уравнение. Уравнение имеет вид:

4xy' = y + ln(x) - yln(y)

Для начала, представим уравнение в более удобной форме, чтобы сделать замену и упростить его. Для этого выразим y' (производную y) следующим образом:

y' = (1/4x)(y + ln(x) - yln(y))

Теперь предлагаю ввести новую переменную z, которая связана с y следующим образом:

z = ln(y)

Следовательно, y = e^z. Теперь мы можем выразить y' через z:

y' = d(e^z)/dx = e^z * dz/dx

Теперь мы можем переписать уравнение с использованием z:

4xe^z * dz/dx = e^z + ln(x) - e^z * ln(e^z)

Сначала упростим выражение, учитывая, что ln(e^z) = z:

4xe^z * dz/dx = e^z + ln(x) - e^z * z

Теперь давайте поделим обе стороны уравнения на e^z:

4xz * dz/dx = 1 + (ln(x) - z)

Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить с помощью разделения переменных. Разделим переменные, переместив все члены с z на одну сторону и члены с x и dx на другую:

(1 + ln(x) - z)dx = 4xz dz

Теперь проинтегрируем обе стороны. Интегрирование левой стороны может потребовать интеграла по частям, но для упрощения давайте сначала рассмотрим правую сторону:

∫(1 + ln(x) - z)dx = ∫4xz dz

Интегрирование правой стороны даст:

4z = ∫(1 + ln(x) - z)dx

Теперь интегрируем левую сторону:

4z = x + xln(x) - ∫z dx

Мы можем переместить член с z на одну сторону:

4z + ∫z dx = x + xln(x)

Теперь у нас есть уравнение, которое связывает z и x. Мы можем продолжить решение, например, путем интегрирования по частям для интеграла ∫z dx, чтобы получить окончательное решение уравнения, но интеграл ∫z dx может быть сложным.

Помимо этого, для получения окончательного решения может потребоваться использование численных методов или специализированного программного обеспечения.