Question

Общий интеграл дифференциального уравнения xydx + (y2 + 1)dy=0 имеет вид ? 1) x2 + y2 + 2lny = C 2) x2 – y2 + lny = C 3) x2 – y2 + 2lny = C 4) x2 + y2 + lny = C

Answer 1

1) y=0 - решение.

2) $y\not= 0;$ делим уравнение на y:

$x\, dx+(y+\frac{1}{y})\, dy=0;\ d\left(\frac{x^2}{2}\right)+d\left(\frac{y^2}{2}+\ln |y|\right)=0;\ d(x^2+y^2+2\ln |y|)=0;$

$x^2+y^2+\ln (y^2)=C$

Answer 2

Давайте решим данное дифференциальное уравнение с помощью метода разделения переменных.

xy dx + (y^2 + 1) dy = 0

Перенесем все члены с dy на одну сторону:

xy dx = -(y^2 + 1) dy

Теперь разделим обе стороны на соответствующие переменные:

(x/y) dx = -((y^2 + 1)/y) dy

Теперь интегрируем обе стороны. Левая сторона интегрируется с использованием правила интегрирования ln|u|, где u - это x/y:

∫(x/y) dx = ∫-((y^2 + 1)/y) dy

ln|y| + C1 = -∫(y^2 + 1)/y dy

Теперь вычислим интеграл справа:

ln|y| + C1 = -∫(y + 1/y) dy ln|y| + C1 = -(-1/2)y^2 - ln|y| + C2

Объединим константы C1 и C2 в одну константу C:

ln|y| + C = (1/2)y^2 + ln|y|

Теперь можно избавиться от ln|y| на левой стороне, вычитая его:

C = (1/2)y^2

Теперь можно выразить y:

2C = y^2

y = ±√(2C)

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:

x^2 + y^2 + 2ln|y| = C

Таким образом, правильный ответ на ваш вопрос - 1) x^2 + y^2 + 2ln|y| = C.