Question

7-5. Одна (и только одна) из цифр пятизначного числа — двойка. Если вычеркнуть двойку, то число уменьшится ровно в 9 раз. На каком месте стоит двойка? Найдите все числа, обладающие этим свойством.​ 25 баллов

Answer 1

Покажем, что последняя цифра не может быть двойкой. Действительно, если это так, то пусть $u=x/9$. Тогда $10u=10x/9>x$, но поскольку эти числа отличаются лишь последней цифрой (и 2>0), то $10x/9$, противоречие.

Это был один из способов начать рассуждение, которое, однако, вряд ли к чему либо приведет.

Рассмотрим другой подход. Заметим, что $9x=10x-x$. Пусть исходное число построено так: $\overline{abcde}$. Пусть $c=2$. Тогда $\overline{abced}=9\times \overline{abed}=\overline{abed0}-\overline{abed}\leq \overline{a[b-1]ed0}$, противоречие. Аналогично доказывается для любой позиции двойки в числе, кроме второй слева. Идея состоит в том, что вычитаемое четырехзначное число достает таким образом до позиции, которая остается в числе, а значит, нарушает равенство. Остается лишь сделать так, чтобы эта позиция исчезала. Собственно, поставить двойку на вторую позицию

Теперь рассмотрим вычитание столбиком:

$\overline{acde0}-\overline{acde}=\overline{a2cde}$, откуда ясно, что $e=5$, $d=2$ или $7$, но два быть не может, поскольку у нас ровно одна двойка, $c=3$ или $8$, наконец $a=1$ или $5$.

Получаем два числа: $12375$ и $52875$.

Answer 2

Пусть пятизначное число записано в виде abcde, где a, b, c, d и e - цифры числа.

Из условия известно, что одна из цифр числа - двойка. Пусть эта двойка находится на i-ом месте. Тогда получаем следующее равенство:

abcde = a * 10000 + b * 1000 + c * 100 + d * 10 + 2

Если вычеркнуть двойку, то число уменьшится в 9 раз:

abcde - 2 = 9 * (a * 1000 + b * 100 + c * 10 + d)

Раскроем скобки:

10000a + 1000b + 100c + 10d + e - 2 = 9000a + 900b + 90c + 9d

9000a - 10000a + 900b - 1000b + 90c - 100c + 9d - 10d + e - 2 = 0

-1000a + 800b - 10c - d + e - 2 = 0

Так как число уменьшается в 9 раз, то a, b, c и d должны быть одинаковыми, а e должно быть на 9 больше двойки.

Теперь рассмотрим все возможные варианты двойки на разных местах:

1. Двойка на месте a: -1000a + 800a - 10c - d + (a + 9) - 2 = 0 -200a - 10c - d + a + 7 = 0 -199a - 10c - d + 7 = 0

2. Двойка на месте b: -1000b + 800b - 10c - d + (b + 9) - 2 = 0 -200b - 10c - d + b + 7 = 0 -199b - 10c - d + 7 = 0

3. Двойка на месте c: -1000c + 800c - 10c - d + (c + 9) - 2 = 0 -200c - 10c - d + c + 7 = 0 -209c - d + 7 = 0

4. Двойка на месте d: -1000d + 800d - 10c - d + (d + 9) - 2 = 0 -200d - 10c + 8d + 7 = 0 -10c + 8d - 200d + 7 = 0 -10c - 192d + 7 = 0

Из этих уравнений можно найти все числа, обладающие указанным свойством.

Пример:

Двойка на месте a: -199a - 10c - d + 7 = 0

Подставим a = 1, c = 0, d = 9:

-199 * 1 - 10 * 0 - 9 + 7 = -199 - 9 + 7 = -201

Таким образом, число 12097 обладает указанным свойством.

Аналогично, решив все остальные уравнения, можно получить остальные числа, обладающие этим свойством.