Question

В треугольнике ABC проведена биссектриса BD, а к ней проведён перпендикуляр CQ, причём точка Q лежит внутри треугольника ABC. Докажите, что площадь треугольника ABQ равна половине площади треугольника ABC . С рисунком, и даю 100 балов!!!

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение: см файл

Answer 2

Для доказательства этого факта воспользуемся следующими свойствами биссектрисы треугольника:

1) Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные длинам прилежащих сторон.

Из этого свойства следует, что отношение отрезков bd и dc равно отношению длин сторон ab и ac, то есть:

bd/dc = ab/ac.

2) Биссектриса является высотой в симметричном треугольнике к треугольнику abc относительно этой биссектрисы.

Из этого свойства следует, что точка q, являющаяся проекцией точки d на сторону ac, лежит на биссектрисе ao треугольника abc, где o - точка пересечения биссектрисы и медианы треугольника abc, проведенной из вершины b.

Теперь рассмотрим треугольники abq и abc.

Так как точка q лежит на биссектрисе треугольника abc, то треугольник abq является симметричным треугольнику abc относительно биссектрисы bd.

Следовательно, отрезок bq равен отрезку cq, сторона ab равна стороне ac, а сторона bq равна стороне cq.

Получаем, что треугольник abq равнобедренный и его площадь равна половине произведения длины стороны ab на высоту, опущенную на эту сторону из вершины q.

Так как сторона bq равна стороне cq, то высота, опущенная на сторону bq, равна высоте, опущенной на сторону cq, а следовательно, площади треугольников abq и abc равны.

Таким образом, площадь треугольника abq равна половине площади треугольника abc.

Answer 3

Задача

В треугольнике ABC проведена биссектриса BD, а к ней проведён перпендикуляр CQ, причём точка Q лежит внутри треугольника ABC. Необходимо доказать, что площадь треугольника ABQ равна половине площади треугольника ABC.

Доказательство

Для начала, обозначим площадь треугольника ABC как S(ABC), а площадь треугольника ABQ как S(ABQ). Чтобы доказать, что S(ABQ) равна половине S(ABC), мы можем воспользоваться свойством биссектрисы треугольника.

Вспомним, что биссектриса треугольника делит противолежащий ей угол на два равных угла. В данном случае, биссектриса BD делит угол ABC на два равных угла DBA и DBC.

Теперь рассмотрим треугольники ABC и ABQ. Обратим внимание, что эти треугольники имеют общую сторону AB и угол B, который разделен биссектрисой BD. Поэтому, треугольники ABC и ABQ подобны.

Вывод 1: Треугольники ABC и ABQ подобны.

Теперь, используя свойства подобных треугольников, мы можем сделать следующее наблюдение: отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату отношения их соответствующих сторон.

Вывод 2: S(ABQ) / S(ABC) = (ABQ)² / (ABC)²

Так как треугольники ABC и ABQ подобны, и сторона AB является общей для них, отношение их площадей равно квадрату отношения их соответствующих сторон ABQ и ABC.

Теперь рассмотрим отношение сторон ABQ и ABC. Заметим, что сторона BQ является биссектрисой треугольника ABC, а сторона BC является продолжением этой биссектрисы. Поэтому, отношение сторон ABQ и ABC равно отношению сторон AB и AC, поскольку эти стороны являются соответствующими сторонами подобных треугольников ABC и ABQ.

Вывод 3: ABQ / ABC = AB / AC

Теперь, используя выводы 2 и 3, мы можем написать следующее уравнение:

S(ABQ) / S(ABC) = (ABQ)² / (ABC)² = (AB / AC)²

Так как AB и AC являются сторонами треугольника ABC, мы можем использовать формулу для площади треугольника ABC:

S(ABC) = 0.5 * AB * AC * sin(BAC)

Подставим это выражение в предыдущее уравнение:

S(ABQ) / (0.5 * AB * AC * sin(BAC)) = (AB / AC)²

Упростим это выражение:

S(ABQ) = 0.5 * AB * AC * sin(BAC) * (AB / AC)²

Обратим внимание, что в этом выражении присутствует sin(BAC), которое является общим для треугольников ABC и ABQ. Поэтому, sin(BAC) можно вынести за скобки:

S(ABQ) = 0.5 * AB * AB * sin(BAC) * AC * (1 / AC) * (AB / AC)

Упростим это выражение:

S(ABQ) = 0.5 * AB² * sin(BAC) * AB / AC

Так как мы знаем, что sin(BAC) = 1 (так как угол BAC является прямым), мы можем упростить это выражение еще больше:

S(ABQ) = 0.5 * AB² * AB / AC

Теперь заметим, что AB / AC = BQ / CQ, так как треугольник ABC и треугольник ABQ подобны. Поэтому, мы можем заменить AB / AC на BQ / CQ:

S(ABQ) = 0.5 * AB² * AB / AC = 0.5 * AB² * BQ / CQ

Теперь, заметим, что AB² * BQ представляет собой площадь треугольника ABQ, так как AB является основанием этого треугольника, а BQ - высотой, опущенной на это основание. Поэтому, мы можем заменить AB² * BQ на S(ABQ):

S(ABQ) = 0.5 * S(ABQ) * 1 / CQ

Упростим это выражение:

S(ABQ) = 0.5 * S(ABQ) / CQ

Из этого уравнения следует, что площадь треугольника ABQ равна половине площади треугольника ABC, так как S(ABQ) = 0.5 * S(ABC) и CQ - константа.

Вывод: Площадь треугольника ABQ равна половине площади треугольника ABC.

Надеюсь, это решение помогло вам! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.