Question

Решить неравенство 2^5x>5^2x

Answer 1

обе части > 0

логарифмируем по основанию, к примеру 2, чтобы знак не менять

2^5x > 5^2x

log(2) 2^5x > log(2) 5^2x

5x > 2x log(2) 5

x(5 - 2log(2) 5) > 0

log(2) 5 < 5/2 ⇒ 2log(2) 5 < 5  

x > 0

или

2^5x > 5^2x

(2^5)^x > (5^2)^x

32^x > 25^x

(32/25)^x > 1

(32/25)^x > (32/25)^0

x > 0

Answer 2

Для решения неравенства 2^(5x) > 5^(2x), мы можем воспользоваться логарифмическими свойствами. Сначала применим логарифм к обеим сторонам неравенства. Мы можем взять любой логарифм, но наиболее удобным будет натуральный логарифм (ln). Тогда неравенство примет следующий вид:

ln(2^(5x)) > ln(5^(2x))

Теперь воспользуемся свойством логарифмов, которое позволяет переместить показатель степени вперед:

5x * ln(2) > 2x * ln(5)

Теперь мы можем разделить обе стороны неравенства на ln(2) и упростить его:

5x > (2x * ln(5)) / ln(2)

Теперь вычислим правую сторону неравенства:

5x > (2x * ln(5)) / ln(2)

Теперь мы можем разделить обе стороны неравенства на 2x (при условии, что x ≠ 0, так как деление на ноль недопустимо):

5 > ln(5) / ln(2)

Теперь нам нужно определить, при каких значениях x неравенство 5 > ln(5) / ln(2) будет выполняться. Это неравенство не зависит от x, так как x исчезло при делении обеих сторон на 2x.

Итак, неравенство 2^(5x) > 5^(2x) выполняется для всех значений x.