Question

Найти площадь фигуры,ограниченной линиями: 1)y=x^2+1 и y=x+1 2)y=x^2+1 и y=3-x^2

Answer 1

$1)S=\int\limits^1_0 {x+1-x^2-1} \, dx=\int\limits^1_0 {x-x^2} \, dx =(\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3})\mid^1_0=\frac{1}{6}\\\\2)S=\int\limits^1_{-1} {3-x^2-x^2-1} \, dx=\int\limits^1_{-1} {2-2x^2} \, dx=(2x-\frac{2x^3}{3})\mid^1_{-1}=\frac{8}{3}$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, вы должны найти точки их пересечения и определить интервал, на котором эти кривые ограничивают область. Затем вы можете использовать определенный интеграл для вычисления площади между этими двумя кривыми.

Давайте начнем с первой пары кривых:

1) y = x^2 + 1 и y = x + 1

Сначала найдем точки их пересечения, где они равны друг другу:

x^2 + 1 = x + 1

Вычитаем (x + 1) с обеих сторон:

x^2 = x

Теперь выразим x:

x(x - 1) = 0

x = 0 или x = 1

Таким образом, точки пересечения находятся в x = 0 и x = 1.

Для вычисления площади между этими кривыми на этом интервале, мы можем использовать определенный интеграл:

Площадь = ∫[0, 1] (x^2 + 1 - x - 1) dx

Площадь = ∫[0, 1] (x^2 - x) dx

Теперь вычислим этот определенный интеграл:

Площадь = [1/3 * x^3 - 1/2 * x^2] от 0 до 1

Площадь = [(1/3 * 1^3 - 1/2 * 1^2) - (1/3 * 0^3 - 1/2 * 0^2)]

Площадь = [(1/3 - 1/2) - (0 - 0)]

Площадь = (1/6)

Теперь давайте перейдем ко второй паре кривых:

2) y = x^2 + 1 и y = 3 - x^2

Снова найдем точки пересечения:

x^2 + 1 = 3 - x^2

2x^2 = 2

x^2 = 1

x = ±1

Таким образом, точки пересечения находятся в x = -1 и x = 1.

Для вычисления площади между этими кривыми на интервале [-1, 1], мы можем использовать определенный интеграл:

Площадь = ∫[-1, 1] (x^2 + 1 - (3 - x^2)) dx

Площадь = ∫[-1, 1] (2x^2 + 2) dx

Теперь вычислим этот определенный интеграл:

Площадь = [2/3 * x^3 + 2x] от -1 до 1

Площадь = [(2/3 * 1^3 + 2 * 1) - (2/3 * (-1)^3 + 2 * (-1))]

Площадь = [(2/3 + 2) - (-2/3 - 2)]

Площадь = (2/3 + 2 + 2/3 + 2)

Площадь = (8/3)

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 + 1 и y = x + 1 равна 1/6, а площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 + 1 и y = 3 - x^2, равна 8/3.